2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》

这是一份2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》，共13页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）下列说法正确的是()
A. 若a→与b→共线，则a→=b→或者a→=-b→
B. 若a→⋅b→=a→⋅c→，则b→=c→
C. 若△ABC中，点P满足2AP→=AB→+AC→，则点P为BC中点
D. 若e1→，e2→为单位向量，则e1→=e2→
2.（5分）已知O是△ABC所在平面内的一点，若|OB→-OC→|=|OB→+OC→-2OA→|，则△ABC一定为()
A. 以BC为底边的等腰三角形B. AB为底边的等腰三角形
C. 以BC为斜边的直角三角形D. 以AB为斜边的直角三角形
3.（5分）平面向量a→与b→的夹角为60°，a→=2, b→=1,则
A. B. 12C. 4D.
4.（5分）已知向量a→=(k,-1)，b→=(3,-4)，如果向量2a→+b→与a→-3b→平行，则实数k的值为( )
A. 14B. 34C. -14D. -34
5.（5分）下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）
A. 2个B. 3个
C. 4个D. 5个
6.（5分）已知向量a→，b→满足｜a→｜=1，｜b→｜=2，|a→+b→|=6，则｜a→-b→｜= ( )
A. 2B. 2C. 3D. 5
7.（5分）设向量a→=(sinα,22)的模为32，则cs2α=( )
A. 12B. 32C. -12D. -14
8.（5分）设AB→=22(a→+5b→)，BC→=-2a→+8b→，CD→=3(a→-b→)，则共线的三点是( )
A. A，B，CB. B，C，DC. A，B，DD. A，C，D
9.（5分）在ΔABC中，有命题
①AB→-AC→=BC→；
②AB→+BC→+CA→=0→；
③若(AB→+AC→).(AB→-AC→)=0，则ΔABC为等腰三角形；
④若AC→.AB→>0，则ΔABC为锐角三角形．
上述命题正确的是( )
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②③④
10.（5分）下列向量关系式中，正确的是()
A. MN→=NM→B. AB→+AC→=BC→
C. AB→-AC→=BC→D. MN→+NP→+PQ→=MQ→
11.（5分）已知非零向量a→,b→的夹角为300，且|a→|=1,|b→|=3,则|2a→-b→|=()
A. 2-3B. 1C. 2D. 2
12.（5分）如下图，在菱形ABCD中，∠DAB=1200，则以下说法错误的是( )
A. 与AB→相等的向量只有一个(不含AB→)
B. 与AB→的模相等的向量有9个(不含AB→)
C. BD→的模恰为DA→模的3倍
D. CB→与DA→不共线
13.（5分）已知向量a→=(-3,1)，b→=(3,λ).若a→与b→共线，则实数λ=( )
A. -1B. 1C. -3D. 3
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知单位向量a→，b→，c→满足a→⋅b→=0，记d→=a→-3b→，则对任意λ∈R，|2a→+c→|+|(1-λ)d→|+2|a→-c→-λd→|的最小值是______.
15.（5分）已知向量a→=(x,y)(x,y∈R)，b→=(1,2)，若x2+y2=1，则|a→-b→|的最小值为______．
16.（5分）给出下列命题：①两个单位向量一定相等；②若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；③共线的单位向量必相等；④两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同．其中正确的命题是________.(填序号)
17.（5分）已知平面向量a→与b→的夹角为60°，a→=(2,0)，|b→|=1，则|a→+2b→|=______．
18.（5分）已知单位向量e1→，e2→的夹角为θ，且csθ=14，若向量a→=e1→+2e2→，则|a→|=______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知向量a→，b→满足|a→|=5，b→=(4,2)．
(1)若a→//b→，求a→的坐标；
(2)若a→-b→与5a→+2b→垂直，求a→与b→的夹角θ的大小．
20.（12分）已知平行四边形ABCD中，AD→=a→，AB→=b→，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点．
(1)用基底a→，b→表示向量MC→、NC→；
(2)求证：M，N，C三点共线．
21.（12分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB→=2,4，AC→=1,3.
(1)求cs∠DAB的值；
(2)求BD→.AD→的值．
22.（12分）已知向量a→=(2csθ,sinθ)，b→=(1,-2)．
(1)若a→//b→，求3sinθ-2csθ2sinθ+csθ的值；
(2)若θ=45°，2a→-tb→与2a→+b→垂直，求实数t的值．
23.（12分）飞机从A地按北偏西15∘的方向飞行1400km到达B地，再从B地按东偏南15∘的方向飞行1400km到达C地，那么C地在A地什么方向?C地距A地多远？
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本概念的运用，属于基础题.
根据向量共线的定义即可判断A错；根据向量数量积的定义即可判断B错；由平面向量加法法则可得C正确；由单位向量的方向不确定得D错误.
【解答】
解：由a→与b→共线得a→=λb→(b→≠0→)，故“若a→与b→共线，则a→=b→或者a→=-b→”不正确，故A错误；
由a→与b→可以同垂直于a→可得“若a→⋅b→=a→⋅c→，则b→=c→”不正确，故B错误；
由平面向量加法法则可得“若△ABC中，点P满足2AP→=AB→+AC→，则点P为BC中点”正确，故C正确；
由单位向量的方向不确定得“若e1→，e2→为单位向量，则e1→=e2→”不正确，故D错误.
故选C.
2.【答案】C;
【解析】解：由题意得|OB→-OC→|=|CB→|=|AB→-AC→|，
|OB→+OC→-2OA→|=|OB→-OA→+OC→-OA→|=|AB→+AC→|，
因为|OB→-OC→|=|OB→+OC→-2OA→|，
所以|AB→-AC→|=|AB→+AC→|，
所以AB→²-2AB→⋅AC→+AC→²=AB→²+2AB→⋅AC→+AC→²，
所以AB→⋅AC→=0，
所以AB→⊥AC→，
即AB⊥AC，
所以△ABC一定为以BC为斜边的直角三角形．
故选：C.
利用向量的线性运算可得|AB→-AC→|=|AB→+AC→|，两边平方可得AB→⋅AC→=0，从而可得结论．
本题主要考查向量的线性运算，考查转化思想与逻辑推理能力，属于中档题．
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．根据|a→+2øverrightarrwb|=(a→+2øverrightarrwb)2=a→2+4øverrightarrwa⋅b→+4b→2，利用两个向量的数量积的定义，计算求得结果．

解：平面向量a→与b→的夹角60°，
|a→|=2,|b→|=1，
则|a→+2øverrightarrwb|
=(a→+2øverrightarrwb)2
=a→2+4øverrightarrwa⋅b→+4b→2
=4+4⋅2⋅1⋅cs60∘+4
=23.
故答案为D.


4.【答案】B;
【解析】解：∵向量a→=(k,-1)，b→=(3,-4)，向量2a→+b→与a→-3b→平行，
∴2a→+b→=(2k+3,-6)，a→-3b→=(k-9,11)，
∵向量2a→+b→与a→-3b→平行，
∴(2k+3)×11-(-6)×(k-9)=0，
解得实数k=34．
故选：B．
先利用平面向量坐标运算法则先分别求出2a→+b→与a→-3b→，再由向量2a→+b→与a→-3b→平行，能求出实数k．
该题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：∵质量、路程只有大小而没有方向，
∴质量、路程属于标量，不是向量；
又∵速度、位移、力和加速度都是既有大小，又有方向的量
∴速度、位移、力和加速度这些量都是向量
因此，正确答案为②③④⑤，共有4个
故选：C
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查数量积的运算以及模的计算，属于基础题.
将已知条件|a→+b→|=6平方求得2øverrightarrwa.b→=1，再将所求平方，求得a→-b→2=a→2+b→2-2øverrightarrwa.b→=1+4-1=4，即可得到答案.

解：根据题意得，a→-b→2=a→2+b→2-2øverrightarrwa.b→,
又a→+b→2=a→2+2øverrightarrwa.b→+b→2=1+4+2øverrightarrwa.b→=6，
∴2øverrightarrwa.b→=1，
∴a→-b→2=a→2+b→2-2øverrightarrwa.b→=1+4-1=4，
∴｜øverrightarrwa-b→｜= 2.
故选A.
7.【答案】A;
【解析】解：由题意可得sin2α+12=34，
∴sin2α=14，
∴cs2α=1-2sin2α=12，
故选：A．
由题意求得sin2α=14，再由二倍角公式可得cs2α=1-2sin2α，运算求得结果．
这道题主要考查向量的模的定义、二倍角公式的应用，属于中档题．
8.【答案】C;
【解析】解：∵BD→=BC→+CD→=-2a→+8b→+3(a→-b→)=a→+5b→=2AB→，
∴共线的三点是A，B，D．
故选：C．
由于BD→=BC→+CD→=a→+5b→=2AB→，即可得出．
该题考查了向量的运算、共线定理，属于基础题．
9.【答案】C;
【解析】解：由向量的运算法则知AB→-AC→=CB→；AB→+BC→+CA→=0→故①错②对
又(AB→+AC→).(AB→-AC→)=AB2→-AC2→
∵(AB→+AC→).(AB→-AC→)=0
∴AB2→=AC2→即AB=AC
∴ΔABC为等腰三角形故③对
∵AC→.AB→>0
∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形
故选：C．
利用向量的运算法则；锐角三角形需要三个角全为锐角．
考查向量的运算法则．
10.【答案】D;
【解析】解：根据向量的概念可知A，B错误，
对于C：AB→-AC→=CB→，故C错误，
对于D：MN→+NP→+PQ→=MQ→，故D正确，
故选：D.
根据向量的概念与线性运算法则判断即可．
此题主要考查了向量的概念与线性运算，属于基础题．
11.【答案】B;
【解析】【分析】
本题主要考查了两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，属于基础题．
【解答】
解：∵非零向量a→，b→的夹角为30∘，且|a→|=1,|b→|=3，
∴|2a→-b→|2=4a→2-4a→·b→+b→2=4-4×1×3×32+3=1，
故|2a→-b→|=1，
故选B.

12.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了向量相等、共线、模相等等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
解：A.与AB→相等的向量只有一个(不含AB→)是DC→，正确；
B.在菱形ABCD中，∠DAB=120°，∴∠ADC=60°，因此ΔADC和ΔABC都是等边三角形．
∴与AB→的模相等的向量有9个(不含AB→)：BA→，CD→，DC→，AC→，CA→，AD→，DA→，BC→，CB→.因此正确．
C.由等边三角形的性质可得：|OD→|=32|DA→|，∴|BD→|=2|OD→|=3|DA→|.
因此BD→的模恰为DA→模的3倍，故正确．
D.∵CB→=DA→，∴CB→与DA→共线，故D不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选D.
13.【答案】A;
【解析】解：∵a→//b→，∴-3λ-3=0，解得λ=-1．
故答案为A．
利用向量共线定理即可得出-3λ-3=0，解出即可．
熟练掌握向量共线定理是解答该题的关键．
14.【答案】72;
【解析】解：设a→=OA→，b→=OB→，c→=OC→，建立如图所示的直角坐标系，
则A(1,0)，B(0,1)，C在单位圆上运动，
取E(0,3)，P(-12,0)，
直线AE的方程为3x+y-3=0，∠AEO=π6，
已知EA→=d→=a→-3b→，设ED→=(1-λ)d→，
则DA→=EA→-ED→=λd→，作DH⊥y轴于点H，则|(1-λ)d→|=|ED→|=2|DH→|，
又|2a→+c→|=|a→+2c→|=2|c→-(-12a→)|=2|OC→-OP→|=2|CP→|，
|a→-c→-λd→|=|OA→-OC→-DA→|=|CA→+AD→|=|CD→|，
因此，|2a→+c→|+|(1-λ)d→|+2|a→-c→-λd→|=2(|CP→|+|CD→|)+2|DH→|⩾2(|DP→|+|DH→|)，
作点P关于直线AE的对称点P'，设P'(x0,y0)，
则{3×x0-122+y0+02-3=0y0-0x0+12=33，解得{x0=74y0=334，
连接P'D，则|DP→|+|DH→|=|DP'→|+|DH→|⩾|x0|=74，
于是，|2a→+c→|+|(1-λ)d→|+2|a→-c→-λd→|⩾2(|DP→|+|DH→|)=72，
当D(14,334)，对应λ=34，且C为DP于单位圆O的交点时取得最小值，
最小值为72.
故答案为：72.
根据题意，建立如图所示的直角坐标系，A(1,0)，B(0,1)，C在单位圆上运动，取E(0,3)，P(-12,0)，则|2a→+c→|+|(1-λ)d→|+2|a→-c→-λd→|=2(|CP→|+|CD→|)+2|DH→|⩾2(|DP→|+|DH→|)，求出点P关于直线AE的对称点P'的坐标，可得|DP→|+|DH→|的最小值，即可得解．
本题主要考查向量的模，向量的数量积运算，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于难题．
15.【答案】5-1;
【解析】解：设O(0,0)，P(1,2)，
∴|a→-b→|=(x-1)2+(y-2)2⩾|OP→|-1=12+22-1=5-1，
∴|a→-b→|的最小值为5-1
利用|a→-b→|=(x-1)2+(y-2)2⩾|OP→|-1，即可求出
该题考查了向量的模的计算公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
16.【答案】②;
【解析】
此题主要考查了单位向量、相等向量与共线向量的应用问题，是基础题目．
根据平面向量的基本概念，对每一个选项进行判断即可．
解：对于①，两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同，∴①错误；
对于②，若向量→ a与→ b不共线，则→ a与→ b都是非零向量，故②正确；
对于③，共线的单位向量不一定相等，也可能是相反向量，∴③错误；
对于④，两个相等的向量的方向相同，长度也相等，但是起点不一定相同，∴④错误；
故答案为②．
17.【答案】23;
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
先计算|a→|以及a→·b→，再计算(a→+2b→)2，开方即可得出|a→+2b→|．
【解答】
解：|a→|=2，a→·b→=|a→||b→|cs60°=2×1×12=1．
∴(a→+2b→)2=a→2+4a→·b→+4b→2=12，
∴|a→+2b→|=23．
故答案为：23．
18.【答案】6;
【解析】
利用题意首先求得e1→⋅e2→ 的值，然后结合平面向量模的计算公式整理计算即可求得最终结果．此题主要考查平面向量数量积的定义，平面向量模的计算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
解：由题意可得：e1→⋅e2→=1×1×14=14，
则： | a→ | = ( e 1 → + 2 e 2 → ) 2 = e 1 → 2 + 4 e 1 → ⋅ e 2 → + 4 e 2 → 2 = 1 + 4 × 1 4 + 4 ×1 = 6 ．
故答案为6．

19.【答案】解：(1)设a→=(x,y)，则x2+y2=5，
因为a→//b→，所以4y-2x=0，
由{x2+y2=54y-2x=0，可得{x=2y=1或{x=-2y=-1
所以a→的坐标为：(2,1)或(-2,-1)．
(2)因为a→-b→与5a→+2b→垂直，所以(a→-b→).(5a→+2b→)=0，
化简得：5a2→-3a→⋅b→-2b2→=0，
又因为|a→|=5，|b→|=25，所以a→⋅b→=-5，
csθ=a→⋅b→|a→||b→|=-55×25=-12，
又因为θ∈[0,π]，所以θ=2π3. ，;
【解析】该题考查向量平行和垂直的坐标表示，向量的模和夹角，属于中档题．
(1)设a→=(x,y)，推出x2+y2=5，由a→//b→得4y-2x=0，即可求解a→的坐标．
(2)因为a→-b→与5a→+2b→垂直，数量积为0，得到5a2→-3a→⋅b→-2b2→=0，求出a→⋅b→=-5，利用数量积求解csθ，再由θ∈[0,π]，求出θ=2π3．
20.【答案】（1）解：MC→=MB→+BC→=12AB→+AD→=12b→+a→，
NC→=NB→+BC→=13DB→+AD→=13(AB→-AD→)+AD→=13AB→+23AD→=13b→+23a→．
（2）证明：由（1）可得NC→=23(a→+12b→)=23MC→，
∴M，N，C三点共线．;
【解析】
(1)由于MC→=MB→+BC→=12AB→+AD→，NC→=NB→+BC→=13DB→+AD→=13(AB→-AD→)+AD→=13AB→+23AD→，即可得出．
(2)由(1)可得NC→=23(a→+12b→)=23MC→，即可证明M，N，C三点共线．
此题主要考查了向量的三角形法则、向量的线性运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD→=BC→=AC→-AB→=1,3-2,4=-1,-1.
∴cs∠DAB=AD→.AB→AD→AB→=-2-42×4+16=-31010.
(2) BD→=AD→-AB→=-1,-1-2,4=-3,-5.
BD→.AD→=-1×-3+-1×-5=3+5=8.;
【解析】此题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模，属于基础题.
(1)由平行四边形的性质得出AD→=BC→=AC→-AB→=1,3-2,4=-1,-1，利用夹角公式计算；
(2)先求出BD→，再利用数量积公式计算.
22.【答案】解：（1）∵向量a→=（2csθ，sinθ），b→=（1，-2），a→∥b→，
∴2csθ1=sinθ-2，∴tanθ=-4，
∴3sinθ-2csθ2sinθ+csθ=3tanθ-22tanθ+1=3×(-4)-22×(-4)+1=2．
（2）∵θ=45°，∴a→=（2，22），
∴2a→-tb→=（22-t，2+2t），2a→+b→=（3，-1），
∵2a→-tb→与2a→+b→垂直，
∴（2a→-tb→）•（2a→+b→）=（22-t）×3+（2+2t）×（-1）=0，
解得t=2．;
【解析】
(1)由a→//b→，得tanθ=-4，由3sinθ-2csθ2sinθ+csθ=3tanθ-22tanθ+1，能求出结果．
(2)由θ=45°，得a→=(2,22)，利用向量坐标运算法则求出2a→-tb→和2a→+b→，再由2a→-tb→与2a→+b→垂直，能求出t．
该题考查三角函数值的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行、向量垂直、向量坐标运算法则、同角三角函数关系式的合理运用．
23.【答案】解：作出示意图如图所示，

如图所示，→ AB表示飞机从A地按北偏西15∘方向飞行到B地的位移，
则|→ AB|=1400km；
→ BC表示飞机从B地按东偏南15∘方向飞行到C地的位移，
则|→ BC|=1400km，
所以→ AC为从A地到C地的位移，
在ΔABC中，|AB|=|BC|=1400，且∠ABC=(90∘-15∘)-15∘=60∘，
所以∠BAC=60∘，
则|AC|=1400，∠BAC=60°，
所以C地在A地北偏东60∘-15∘=45∘，距离A地1400km.;
【解析】此题主要考查平面向量的几何应用，考查向量的模，关键是在三角形ABC中，利用向量得出边的长度与角的度数.