【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 06第六章 平面向量和复数-讲义

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11140" \l "_Tc147996536" 知识梳理 PAGEREF _Tc11140 \h 1
\l "_Tc7123" 考点精讲精练 PAGEREF _Tc7123 \h 7
\l "_Tc17298" 考点一：平面向量的概念 PAGEREF _Tc17298 \h 7
\l "_Tc3" 考点二：平面向量的运算 PAGEREF _Tc3 \h 8
\l "_Tc5785" 考点三：平面向量基本定理 PAGEREF _Tc5785 \h 12
\l "_Tc31307" 考点四：平面向量坐标运算 PAGEREF _Tc31307 \h 17
\l "_Tc30534" 考点五：余弦定理 PAGEREF _Tc30534 \h 20
\l "_Tc27857" 考点六：正弦定理 PAGEREF _Tc27857 \h 25
\l "_Tc22702" 考点七：余弦定理、正弦定理应用 PAGEREF _Tc22702 \h 28
\l "_Tc14800" 考点八：复数的概念及四则运算 PAGEREF _Tc14800 \h 31
\l "_Tc18862" 平面向量和复数实战训练 \l "_Tc23546" PAGEREF _Tc23546 \h 33
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
（1）向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
（2）向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
（3）向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
5、数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
6、平面向量的基本定理
（1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
（2）基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
7、平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）任一向量：设，则.
8、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
9、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
（1）数量积
（2）模：
（3）夹角：
（4）非零向量的充要条件：
10、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
11、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；
；
12、三角形常用面积公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
13、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
14、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
15、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
16、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
17、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
18、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
19、复数的四则运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
（3）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（4）复数的除法法则
（）
考点一：平面向量的概念
真题讲解
例题1．（2023·北京·高三统考学业考试）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心，
所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；
与只是模相等的向量，故B错误；
与只是模相等的向量，故C错误；
与只是模相等的向量，故D错误.
故选：A.
例题2．（2023春·河北·高二统考学业考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与其它向量都共线
【答案】D
【详解】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.
故选：D.
真题演练
1．（2023·河北·高三学业考试）下列命题中，正确命题的个数是
①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量共线的单位向量是.
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】因为不同的单位向量的方向可能不相同，所以①错误；
相反向量的长度相等，但方向相反，则②错误；
因为共线的单位向量方向可能相反，所以它们不一定相等，则③错误；
与非零向量共线的单位向量是或，则④错误；
故选：A
2．（2022春·广西·高二统考学业考试）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；
故选：B
考点二：平面向量的运算
真题讲解
例题1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）在中，，，，若，若，则的值为（ ）
A．2或B．C．1D．2
【答案】D
【详解】设是的中点，
由于，所以，
所以三点共线，且，
，且，
所以，
令，则，
所以
，
解得，则，解得.
故选：D

例题2．（2023春·浙江·高二学业考试）己知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】连接、，

因为，则，所以，且，
又因为，则四边形为菱形，
设，则为的中点，且，
因此，在上的投影向量为，
故选：A.
例题3．（2023·河北·高三学业考试）已知向量，满足，，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，即，
故.
故选：D.
例题4．（2023·广东·高三学业考试）已知向量满足，，，则与的夹角的余弦值为 .
【答案】
【详解】因为向量满足，，且，可得，
所以与的夹角的余弦值为.
故答案为：
例题5．（2023春·新疆·高二统考学业考试）已知向量与的夹角为60°，．
(1)求的值；
(2)求为何值时，向量与相互垂直．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为向量与的夹角为60°，
所以
（2）因为向量与相互垂直，
所以，则，
所以，
则
真题演练
1．（2023春·浙江·高二学业考试）已知平面向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．12C．D．
【答案】A
【详解】由可得，即，
，即，
，即，
，
令，
则，即，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：A
2．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）在中，已知是边上的中点，是的中点，若，则实数（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】解：因为是边上的中点，是的中点，
所以，
所以，
，
又因为，
所以，则，
故选：C
3．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，，
所以.
故选：D.
4．（2023·河北·高二统考学业考试）在中，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
则，
故选：.
5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知向量，满足，且，则，夹角为 ．
【答案】
【详解】，夹角余弦值，又，所以，
即，夹角为.
故答案为：.
考点三：平面向量基本定理
真题讲解
例题1．（2023·河北·高三学业考试）已知、为不共线的向量，，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】C
【详解】因为、为不共线的向量，所以、可以作为一组基底，
对于A：，，若存在实数使得，
则，所以，方程组无解，所以与不共线，故、、三点不共线，即A错误；
对于B：因为，，所以，
同理可以说明不存在实数，使得，即与不共线，故、、三点不共线，即B错误；
对于C：因为，，
所以，
又，所以，故、、三点共线，即C正确；
对于D：，，
同理可以说明不存在实数，使得，即与不共线，故、、三点不共线，即D错误；
故选：C
例题2．（2023春·福建·高二统考学业考试）如图所示，，，M为AB的中点，则为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，，M为AB的中点，
所以.
故选：B
例题3．（2023·上海·高三统考学业考试）如图，在直角梯形 ABCD 中，，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】依题意：，
，
，
所以，解得.
所以.
故选：B
例题4．（2023·山西·高二统考学业考试）中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为
【答案】
【详解】因为，
所以
，
所以，所以
故答案为：
真题演练
1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）在中，点D是AB的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为点D是AB的中点，
所以
所以
故选：D.
2．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，
所以.
故选：C.
3．（2023·浙江·高二学业考试）在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ．
【答案】/0.9
【详解】如图所示，
中，，
∴，
又点点在线段上移动，设，，
∴，
又，∴，
∴，
∴当时，取到最小值，最小值为.
故答案为：．
考点四：平面向量坐标运算
真题讲解
例题1．（2023春·浙江金华·高二学业考试）已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）.
A． B． C．1D．2
【答案】B
【详解】因为向量，，
所以，
因为()∥，，
所以，解得，
故选：B
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知向量，则实数（ ）
A．B．0C．1D．或1
【答案】D
【详解】由已知向量，
可得，
由可得，
即，解得，
故选：D
例题3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知向量，，，若，则实数（ ）
A．－6B．－5C．5D．6
【答案】C
【详解】，，
所以，，，
因为，
所以，解得.
故选：C.
例题4．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）在中，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，如图所示
由题意可知，设，
所以，
所以，，
由二次函数的性质知，当时，取最小值为.
故答案为：.
例题5．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知平面向量，，其中，．
(1)求与的夹角；
(2)若与共线，求实数的值．
【答案】(1);
(2).
【详解】（1）因为，，
所以，，
，，
，
，.
（2），，
与共线，，
解得.
即实数的值为.
真题演练
1．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】 ， ， .
故选：A.
2．（2023·广东·高三学业考试）已知平面向量，，且，则（ ）
A．B．2
C．1D．0
【答案】B
【详解】因为，所以，
可得.
故选：B.
3．（2023秋·福建·高二统考学业考试）已知向量，，且与的夹角为，则 ．
【答案】/
【详解】向量，，
所以，，，
则，
故答案为：．
4．（2023·上海·高三统考学业考试）已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是
【答案】
【详解】设两个向量的夹角为，依题意可知为钝角，
则，即，且
由得或，
由于且，所以实数的取值范围是.
故答案为：
5．（2023春·天津河北·高二学业考试）已知向量，，，且，.
(1)求向量与的坐标；
(2)若，，求向量与的夹角的大小.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由于，，
所以，解得，
所以，.
（2），，
，
所以，
由于，所以.
考点五：余弦定理
真题讲解
例题1．（2023春·新疆·高二统考学业考试）在△ABC中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由余弦定理得，，
又，所以.
故选：C
例题2．（2023春·河北·高二统考学业考试）在中，角对边为，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】因为，
所以，即，
所以，
在中，由余弦定理：，
代入得，，即，
所以.
所以直角三角形.
故选：B
例题3．（2023·河北·高三学业考试） 是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则最大边c的取值范围是____________．
【答案】
【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，
在中，由余弦定理可得：
，可得，
又因为，所以，
所以最大边的取值范围是：，
故答案为：.
例题4．（2023·河北·高三学业考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，．
（1）A= ．
（2）若，b=2，则边c= ．
【答案】 2
【详解】因为，，
由，可得，即，
∴，∵，∴，
因为由余弦定理，得，代入，，，
得，解得（舍）．
故答案为：；．
例题5．（2023春·河北·高三统考学业考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（c﹣a）（c+a）+abcsC＝S.
（1）求角A的大小；
（2）若4csB•csC＝1，且a＝2，求S的值.
【答案】（1）;（2）
【详解】（1）
所以，即
，
（2）
△ABC为等边三角形
所以
真题演练
1．（2023·河北·高三学业考试）在中，若 ，，，则AB的长度为（ ）
A．2B．4
C．D．
【答案】D
【详解】解：在中，，，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）
故选：D
2．（2023春·河北·高二统考学业考试）在中，内角、、所对的边分别为、、.若，的面积，当时，的内切圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，由正弦定理可得，
，则，故，
因为，则，则，
，故，则，因此，，
所以，为等边三角形，设等边的内切圆半径为，
则，则，
因此，的内切圆的面积为.
故选：D.
3．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）在中，内角的对边分别为，已知，则角 .
【答案】/
【详解】因为，，即，
所以，又，所以.
故答案为：
4．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知分别为三个内角的对边，若，，则= .
【答案】/
【详解】由余弦定理，则，
又，所以，
故答案为：.
5．（2023·山西·高二统考学业考试）在中，分别为内角所对的边，若，．
(1)求的面积；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理，，结合可得，
整理可得，根据三角形的面积公式，.
（2）由（1）知，根据基本不等式，，
当时，的最小值是.
考点六：正弦定理
真题讲解
例题1．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知中，，，，则B等于（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【详解】在中，，，，
由正弦定理得，，解得，
因为，
所以或，
故选：C
例题2．（2023春·浙江·高二统考学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【详解】，
，
由正弦定理，,
由角B为三角形内角，则，可得，
由，可得或，
故选：B
例题3．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则 ．

【答案】/
【详解】由题意，，
所以有，
一方面在中运用正弦定理得，即，
另一方面由以及，
得，又，
所以;
又在中运用正弦定理得，
即，所以；
注意到，
所以有.
故答案为：
例题4．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知分别为三个内角的对边，.
(1)求的值；
(2)若，求b的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，因为，所以.
（2）由正弦定理，，又，
所以.
真题演练
1．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知中，，则等于（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【答案】D
【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，
即，
又由，所以，且，
所以或，
故选：D.
2．（2023·河北·高三学业考试）如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】A
【详解】由题意得，在中,，，,
由正弦定理有 代入数据得,
解得（海里），
故选：A．
3．（2023春·天津南开·高一学业考试）在中，，，，则 ．
【答案】
【详解】在中，，，，
由正弦定理，得.
故答案为：
4．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）中，角的对边分别为，已知，，，则 .
【答案】
【详解】在中，，，，由正弦定理，得到.
故答案为：.
考点七：余弦定理、正弦定理应用
真题讲解
例题1．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距120米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（ ）

A．60B．C．30D．
【答案】B
【详解】设圆柱状建筑物的高度为，则有，即，
所以.
故选：B
例题2．（2023·河北·高三学业考试）如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由余弦定理得：，
.
故选：C.
例题3．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度 .
.
【答案】
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
故答案为：.
真题演练
1．（2023春·天津河北·高二学业考试）为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【详解】在中，，即，，
和中，，是等边三角形，，
在中，，
所以，
．
故选：B
2．（2023·上海·高三统考学业考试）如图，在地面上共线的三点处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且，则建筑物的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设建筑物的高度为，由题图知，
，，，
在和中，分别由余弦定理的推论，得
①，
②，
因为，
所以③，
由①②③，解得或（舍去），
即建筑物的高度为.
故选:D.
3．（2023·河北·高三学业考试）如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为 米．
【答案】
【详解】根据已知条件，，米，
所以，利用正弦定理，则（米）．
故答案为：.
考点八：复数的概念及四则运算
真题讲解
例题1．（2023春·新疆·高二统考学业考试）设复数，则的虚部是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为复数，所以的虚部是.
故选：D
例题2．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】因为复数在复平面内对应的点是，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
例题3．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【详解】由得，所以，
故选：A
例题4．（2023·广东·高三统考学业考试）已知复数，要让z为实数，则实数m为 .
【答案】2
【详解】为实数，则，．
故答案为：2.
例题5．（2023·河北·高三学业考试）i是虚数单位，则的值为 .
【答案】
【详解】由，
故答案为：
真题演练
1．（2023·云南·高二统考学业考试）若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】复数，则在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B
2．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】D
【详解】因为是纯虚数，所以解得.
故选：D.
3．（2023·河北·高三学业考试）若复数为纯虚数，则实数的值为
A．B．C．D．或
【答案】C
【详解】解：因为选C
4．（2023·河北·高三学业考试）设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.
详解：因为，所以,
因此
选D.
5．（2023·广东·高三学业考试）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 .
【答案】
【详解】因为复数为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：
第六章 平面向量和复数实战训练
一、单选题
1．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）复数（i为虚数单位）的模是（ ）
A．1B．iC．D．2
【答案】C
【详解】由题可得.
故选：C
2．（2023·广东·高三学业考试）复数的虚部为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【详解】的虚部为．
故选：C．
3．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知，则（ ）
A．3B．4C．D．10
【答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C.
4．（2023·上海·高三统考学业考试）已知关于x的方程有实根n，且，则复数z＝（ ）
A．3＋iB．3－i
C．－3－iD．－3＋i
【答案】B
【详解】由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，
所以，解得，
所以z＝3－i.
故选：B
5．（2023春·天津河北·高二学业考试）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
6．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，

则，
当在边上运动时，记，
则，
所以，则；
当在边上运动时，记，
则，所以，则；
当在边上运动时，记，
则，
所以，则；
综上：.
故选：A.
7．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知向量，，若，则的值为（ ）
A．3B．C．3或D．5
【答案】C
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得或，
所以的值为3或.
故选：C
8．（2023·江苏·高三统考学业考试）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，
则，
则，
又因，所以.
故选：C.
9．（2023·河北·高三学业考试）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以
所以
又，，，,
所以，
故选：C．
10．（2023·河北·高三学业考试）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（ ）
A．1B．C．1或D．
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∴，
①当时，，为直角三角形．
∵，，∴；
②当时，则有，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，解得，
综上，或．
故选：C．
11．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量，，若，则锐角α为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．75°
【答案】A
【详解】因为，所以sin2α，∴sin α＝±．
又α为锐角，所以α＝30°．
故选：A
12．（2023春·河北·高二统考学业考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，
即
由正弦定理化简得
即
故选：.
二、填空题
13．（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知向量，，则 .
【答案】5
【详解】由，可得,所以,
故答案为：5
14．（2023春·浙江·高二统考学业考试）在矩形ABCD中，，，点M、N满足，，，则 .
【答案】14
【详解】,
,所以,
故答案为：14

15．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知，且与夹角为钝角，则的取值范围 .
【答案】且
【详解】由于与夹角为钝角，所以，
解得且.
所以的取值范围是且.
故答案为：且
三、解答题
16．（2023·河北·高三学业考试）已知的夹角为，当实数为何值时，
(1)与共线；
(2)与垂直．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令，则，即，
不共线，，解得，
故当时，与共线．
（2）若与垂直，则，即，
则
即，
所以，解得，
故当时，与垂直．
17．（2023·广东·高三学业考试）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1);
(2)
【详解】（1）中，，
由正弦定理可得：，
即，
又，，
∴，求得.
（2）由的面积为，
即，
∵，∴，
由，利用余弦定理，可得，
即，∴，
即的周长为.
18．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求B的值；
(2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因为，所以，
由余弦定理可得：
所以，
所以△ABC的周长为．
19．（2023秋·广东·高三统考学业考试）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)设，从下面两个条件中选择一个，求的周长.
①；②的面积为.
【答案】(1)
(2)选条件①，选条件②
【详解】（1）由可得,
即，
由于,故，而，故；
（2）选①，，
，所以 ，
，
故 ，
故的周长为.
选②的面积为，
则,则，
，
故 ，
故的周长为.
20．（2023春·浙江绍兴·高二绍兴一中校考学业考试）在锐角△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c已知．
(1)求角C的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）在锐角中，因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）在锐角中，，
所以，解得，
，
因为，所以，所以．
即．
故的取值范围为.
21．（2023·河北·高三学业考试）已知向量，向量．
（1）求和的夹角；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为向量，向量，
则，，，
则，
又由，则；
（2）若，则，
解可得.
22．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）在△中，，．
（1）若点M是线段BC的中点，，求边的值；
（2）若，求△的面积．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设，则，
∴在△中，，
∴，整理得，解得（舍去），
∴，即△为等边三角形，则.
（2）由正弦定理知：，由已知得，
∵，即，
∴，而，
∴.