2026年新高考数学专题复习学案 28.保值区间背景下的导数(函数)问题

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1.保值(倍值)区间的定义:对于区间,若函数的定义域为时,其值域也为,则称该区间为的保值区间;若时,其值域为,则称为“倍值函数”,区间为函数的“倍值区间”.
2.一般解法
（1）函数在在区间上一定是单调递增的，值域是．则由方程组
，得到是方程在函数定义域内的两个不同的实数解，然后利用函数零点问题的判断方法进行处理；
（2）函数在在区间上一定是单调递减的，值域是．则由方程组
，得到是方程在函数定义域内的两个不同的实数解，然后利用函数零点问题的判断方法进行处理.
二．典例分析
例1．设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：，设，则，当时，，递增，当时，，递减，故，故在区间上递增，又∵，故在上单调递增．∴在上的值域为．
又∵上的值域是，故，，存在区间满足题意，等价于方程在上至少有两个不等正根，分离参数得，令，则题意等价于函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点．，得，
由得，当得，得在递减，在递增，
又∵当时，，趋近于时，趋近于．∴题意等价于，∵，，，故选：B．
例2．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解析：∵，定义域为，函数在上为增函数，
∴由题意有，，，
即方程有两个不同的实数根，∴，令，则，
由得，由得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，又当时，，当时，，∴，∴当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，此时方程有两个不同的解，∴的取值范围为，
故选：C．
例3．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以恒成立，
即无零点，所以不存在“倍值区间”，故①错误；
对于②在上单调递增，若函数存在“倍值区间”，则，所以，解得.所以函数存在“倍值区间”，故②正确；
对于③函数在定义域上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，则，
令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
，
所以在上存在一个零点，所以在定义域上存在两个零点，
方程有解，其中，，
所以函数存在“倍值区间”，故③正确；
对于④，函数在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，则，
令，，则，
所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点，
所以函数不存在“倍值区间”，故④错误；故选：B
例4．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.
（1）证明：函数为区间上的“倍缩函数”；
（2）若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；
（3）给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
解析：（1）函数在R上单调递增，则在区间上的值域为，
显然有，所以函数为区间上的“倍缩函数”.
（2）因为函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，
因此函数是定义域上的增函数，
因为函数为上的“倍缩函数”，则函数在上的值域为，于是得，即是方程的两个不等实根，则方程有两个不等实根，令，则关于的一元二次方程有两个不等的正实根，因此，解得，当时，函数恒有意义，所以实数的取值范围是.
（3）常数，函数的定义域为，并且，假定存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”，则函数在区间上的值域为，由，及知，因为函数在上单调递增，即，
若，即，则函数在区间上的值域中有数0，矛盾，
若，即，当时，在上单调递减，有，即，整理得，显然无解，
若，即，当时，在上单调递增，有，即是方程的两个不等实根且，而方程，于是得方程在上有两个不等实根，从而，解得，而，即有，解方程得：，
所以当时，存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”， ，当时，不存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.
例5.（2025届苏锡常镇高三一模）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，．
（1）若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率；
（2）若存在自映射区间，
①求的取值范围；
②求证：，且的长度．
解析：（1）因为恒成立，则在上单调递增，若存在自映射区间，则，即方程，即至少有两个不同实数解．则的解集为，所以区间的选择共有种．
若，共有6种选择，所以区间的长度的概率为．
（2）①因为在上单调递增，若存在自映射区间，则，即至少有两个零点，因为时，单调递增；时，单调递减；若要存在两个零点，则，即．此时，使得．
因为当时，，即函数单调递减，所以，又，所以，则，使得．所以的取值范围为．
②因为，所以，下证：．记，则，则在上单调递增，则，即，即，所以．
所以，所以．记，则，
时，单调递减；时，单调递增；所以，即，则，即，同理因为函数的，且对称轴为，则方程存在两根，且，又，且，所以，则，所以区间的长度