2026年新高考数学专题复习学案 12. 不动点背景下的新概念导数问题

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这是一份2026年新高考数学专题复习学案 12. 不动点背景下的新概念导数问题，共5页。
1.不动点:已知函数,若存在,使得，则称为函数的不动点.不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标.
2.稳定点:已知函数,若存在，使得，则称为函数的稳定点.
显然,若为函数的不动点，则必为函数的稳定点.
3.关于不动点和稳定点，有下面两个结论：
性质1：；
性质2：若函数单调递增，则.
证明:不妨设,则由题知,则,故,所以,所以性质1得证;
设,则,因为函数单调递增,所以存在唯一,使,若,则,得到,与矛盾;
若,则,得到,与矛盾,
故必有,所以,即,又由性质（1）知,
所以,当函数单调递增,,故性质2得证.
二．典例分析
例1.设函数为自然对数的底数）.若存在使成立,则的取值范围是（）
A. B. C. D.
解析：,根据复合函数的单调性,可以判断该函数为增函数，又因为
存在使,即有稳定点，所以它必有不动点，使得，即在有解，整理可得,,在有解，令，在单调递增，，故选择A.
例2．（23届深圳一模）已知函数，其中且．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数；
（3）若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围．
解析：（1）所以的单调增区间为，单调减区间为．
（2）函数的不动点即方程的根．显然，不是方程的根，所以．
记，因为（当且仅当取等号），所以在和上均单调递增．由，记．
①当时，（ⅰ）当时，，
（可设当，当，
在单调递减，在单调递增，所以），
存在，使得，即存在唯一使得；
（ⅱ）当时，，
（设当，当，
在单调递增，在单调递减，所以），存在，使得，即存在唯一使得．
②当时，（ⅰ）当时，无零点；
（ⅱ）当时，因为，，存在，使得，即存在唯一使得．综上所述，
当时，函数有两个“不动点”，；当时，函数有一个“不动点”．
（3）当且时方程有两个不同实数根．
例3.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
解析：由题意得若函数为不动点函数则满足
，即，即
设，
设，所以在单调递减，且
所以在上单调递增，，所以在上单调递减，所以，当则，当则，要想成立，由于的图像为下图，则与有交点，所以，故选：B
下面的例题将不动点问题转化为图像与的交点来解决.
例4．对于定义在R上的函数，如果存在实数使，那么叫做函数的一个不动点.若函数存在两个不动点，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
解析：要使函数存在两个不动点，只需直线与函数的图象有两个不同的交点即可.当时，显然与的图象有一个交点；
当时，需使与的图象有且只有一个交点，如示意图，则需的图象最多向下平移1个单位长度，向上则可以任意平移，所以，即.故选：C.
例5．（多选题）对于函数，若在其定义域内存在使得，则称为函数的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（）
A． B．
C． D．
解析：对于A,定义域为,则，由于,故方程无实数根，故A错误，
对于B,定义域为,，记，则的图象是连续不断的曲线，,,根据零点存在性定理可知在存在零点，故B正确，
对于C,定义域为，，由于，所以是的一个不动点，故C正确，
对于D,的定义域为，，令，则，
故当单调递减，当单调递增，故当时，取极大值也是最大值，故，故在无实数根，故D错误，故选:BC
例6．（多选题）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）
A．函数有3个不动点
B．函数至多有两个不动点
C．若函数没有不动点，则方程无实根
D．设函数(，e为自然对数的底数)，若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是
解析：对于A，令，，，当且仅当时取“=”，
则在R上单调递减，而，即在R上只有一个零点，函数只有一个不动点，A不正确；
对于B，因二次函数至多有两个零点，则函数至多有两个不动点，B正确；
对于C，依题意，方程无实数根，即，
当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根，
当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根，
所以函数没有不动点，则方程无实根，C正确；
对于D，点在曲线上，则，又，即有，
当时，满足，显然函数是定义域上的增函数，若，则与矛盾，若，则与矛盾，因此，当时，，即当时，，对，，令，，
，而两个“=”不同时取得，即当时，，
于是得在上单调递增，有，即，则，D正确.
故选：B