2026年新高考数学专题复习学案 20. 导数与数列的综合性压轴

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1.将看作为新数列的前项和，求出对应的项，则不等式即可看成是
的形式，可以通过证明项的大小关系（即）来得到和的大小关系
2.由函数不等式生成数列不等式
（1），当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号.设，则，即，进一步可得.对从到进行累加，有，即
（2）若，则.因为，当时，
，对从1到求和即得该不等式.
（3）令，则.由
，令，可得，进而
.通过累加可得
（4）设，则.因为，令，则对k从1到求和可得
3.迭代放缩
（1）.如果，那么，这样的话，经过了迭代，我们就能得到一个通项的估计.
所以，使用迭代放缩的关键是找到相邻两项之间的一个不等关系，而这也是这类题目的难点，题干可能往往需要通过函数关系来生成迭代.
（2）.在下面的例1与例2中，我们看到了这样的一个放缩模式：
考虑函数，通过选择合适的系数，做到如下递推关系：
①，并且让或者让取到一个明显的下界.（凌晨讲数学）
然后为了构造出迭代关系，我们选择放缩，放缩的依据就是为了让①式中的常数项被抵消，这样就可得到：
的迭代不等式.比如绵阳一诊是，之前的福建质检是当时，
，都是这个目的.
二．典例分析
例1．（2022年新高考2卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
解析：（3）设，设的前项和为，则，当时，
，要想证明，即证明，即证明，即证明
令，，构造函数，
，在上恒成立，，在恒成立，
恒成立，时，①，时，②，时，③，时，，
，把所有不等式都相加，
成立.
所以原不等式
例2．（江苏省南通市2025届高三二模）已知函数，．
（1）证明：有唯一零点；
（2）记的零点为．
（i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明：．
解析：（1）当时，，所以在上无零点，因为，所以在上单调递增，所以在上至多一个零点，当时，有唯一零点1．当时，因为，，所以函数有唯一零点，得证，
（2）（i）由（1）知，，且，两边取自然对数，得，①
所以，两式相减，得，所以．因为函数在上单调递增，所以，所以数列单调递增．假设数列中存在，，成等比数列，则，
所以．由①式得，，代入上式，得
，
．②因为，所以，又，所以方程②无解．所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列．
（ii）先证明：时，，③设，则，
所以当时，，单调递减：当时，，单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立．由③式知，，
所以，所以，
所以．在③式中，令，得，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，，当且仅当时等号成立．当时，在③式中，令，得，所以时，．
当时，成立．所以，得证．
例3．已知函数，．
（1）若是函数唯一的极小值点，求实数的取值范围；
（2）证明：．
解析：（1）综上：，从而实数的取值范围为.
（2）由（1）证明可知，当且时，即，，当时，，即，
故可得：，
令，，两式相减可得：
，化简可得：.
故.
例4.（绵阳市2025届高三一模）已知函数，在上的最大值为．
（1）求实数a的值；
（2）若数列满足，且．
（ⅰ）当时，比较与1的大小，并说明理由；
（ⅱ）求证：．
解析：（1），，当时，，，，则在上单调递增，当时，，，，则在上单调递减，
，解得.所以实数值为2.
（2）（i）由（1）知，，
所以，即，
，，
下面用数学归纳法证明，，当时，，，假设时，命题成立，则，
当时，有成立，所以上述命题对，均有成立.
（ii）当时，成立，当时，令，则，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即，又由（i）知，则，
，，，
，即，得证.
例5．（福建省2024届高三质检）对于函数，若实数满足，则称为的不动点.已知，且的不动点的集合为.以和分别表示集合中的最小元素和最大元素.
（1）若，求的元素个数及；
（2）当恰有一个元素时，的取值集合记为.
（i）求；
（ii）若，数列满足，，集合，.求证：，.
解析：（1）当时，，其定义域为.由得.
设，则，当时，；当时，；所以在单调递增；在单调递减，注意到，所以在恰有一个零点，且，又，所以，所以在恰有一个零点，即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点，所以，所以的元素个数为，又因为，所以.
（2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意；当时，，其定义域为，由得.设，，则，设，则，
①当时，，所以在单调递增，又，所以在恰有一个零点，即在恰有一个不动点，符合题意；
②当，故恰有两个零点.又因为，所以，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；注意到，所以在恰有一个零点，且，又时，，所以在恰有一个零点，从而至少有两个不动点，不符合题意；所以的取值范围为，即集合.（凌晨讲数学）
（ii）由（i）知，，所以，此时，，，由（i）知，在单调递增，
所以，当时，，所以，即，
故若，则，因此，若存在正整数使得，则，从而，
重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，，下面我们先证明当时，，设，，所以，所以在单调递减，所以，即当时，，
从而当时，，从而，即，故，即，由于，，所以，，故，故时，，
所以，故.
（ii）解法二：同解法一可得，.下面我们先证明当时，.
设，则当时，，所以在单调递减，所以，即，从而当时，，
于是，从而，即，
故，即，由于，所以，
故，故时，.
所以.故.
例6.（2017年浙江）已知数列满足：，，证明：当时，
（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1）用数学归纳法证明：．当时，．假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此，所以，因此．
（2）由得，．记函数，，函数在上递增，所以，因此，故．
（3）因为，所以，由，得，所以，故．
综上，．
三．习题演练
1．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，，若存在，使得，则称是函数的不动点．已知函数．
(1)若函数只有一个不动点，求实数的取值范围；
(2)当时，数列满足：，．证明：对任意的，．
【详解】（1）原题等价于，即，即方程有唯一解，显然，从而有唯一解，令，则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
注意到，当趋于0时，趋于正无穷，当趋于正无穷时，趋于0，从而在平面直角坐标系中作出与的图象如图所示：
若有唯一解，则当且仅当的取值范围为；
（2）第一步：，，
令，
令，则，所以在1,+∞单调递增，从而，这表明，
所以在1,+∞单调递增，
从而，
因为，所以，即，依次类推可得，
所以；
第二步：，
设，则，
所以在1,+∞单调递减，
从而，
因为，所以，即，
所以，
第三步：，
令，
则
，
设，则，
所以在1,+∞单调递增，
从而，
当时，，
所以当时，，
所以在1,+∞单调递增，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
所以.
2．已知函数，.
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）已知，证明：.
解析：（1）综上所述，.
（2）证明：当时，由（1）可得，则，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，
所以，，，令，则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则，所以，，，所以，