2026年新高考数学专题复习学案 15.双变量导数中的主元法

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 15.双变量导数中的主元法，共5页。
我们都知道，高中阶段很多函数问题都是含参数的，对于含参数的函数，可以将其简记为，若将参数也视为自变量的话，那么就是一个二元函数，那么我们就可以用偏导数的思想来研究该函数，这就产生了一个重要的方法：主元法. 近年来，在高考试题中，主元法思想考察的相当频繁，例如2019年浙江卷导数压轴题和2020年天津卷导数压轴题，2022北京卷等，在这些问题中，使用主元法往往会起到意想不到的好处，从而使得整个问题得到圆满的解决.
典例分析
例1．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，对任意的买数，证明：.
解析：（1）
①当时，，此时，在单调递增；
②当时，令，可以判断在是单调递减的
注意到：,,则必存在使得，即,且当时，，于是，此时在单调递增；当时，，于是，此时在单调递减；
（2）当时，对于给定的，令
则
,因此在是递增的，于是，，即：
进而
例2．若定义在区间上的函数，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数为区间上的“曲折函数”，“现已知函数.
(1)证明：是上的“曲折函数”；
(2)设，证明：，使得对于，均有
.
解析：（1）要证是上的曲折函数，
即证存在两个不同的，使得，
令，
即证：，使得.
任取，考虑方程的正数解的情况.
，
判别式，故方程有两个不等实根，
由韦达定理可知：，从而.
即有两个不同的正实数解，
所以，即是上的曲折函数.
（2）取代入函数，可得：
，
设，则，
所以在上单调递减，，所以……①.再取代入函数，可得：，
设，，
则，因为，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，所以……②.又因为在上单调递减，结合①与②，由零点存在性定理，
必存在唯一的，使得，且对任意的，均有.
例3. 已知函数，若，试比较与的大小．
解析：不妨设，，，令(a)，则，当时，；当时，，
在上单调增，在上单调减，当时，(a)，
由，故，则．
例4. 设函数．
（1）求的极值；
（2）若，证明：．
解析：（1）函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为
（2）构造函数，，
，，，在上是单调递增的；故(b)(a)，即：另一方面，构造函数
，，在上是单调递减的，故即：
综上，．
例5．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，都有，求实数k的取值范围；
（3）当时，对任意的，且，试比较与的大小．
解析：（1）当时，，所以，，
所以在点处的切线方程为．
（2）对都有且，而，则，
所以，此时，故，则，
在上，即单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，满足题意，综上，．
（3）不妨设，令，
所以，则，
又，，，且，
当，，而，，
所以，故，在上单调递增，
所以，所以单调递增，故，
所以，即．
例6．（2022年北京卷）已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）设，讨论函数在，上的单调性；
（3）证明：对任意的，，有．
解析：（1）对函数求导可得：，将代入原函数可得，将代入导函数可得：，故在处切线斜率为1，故，化简得：.
（2）由（1）有：，，
令，令，
设，恒成立，故在，单调递增，又因为
，故在，恒成立，故，故在，单调递增.
设,其中s>0,t>0.，由（2）有
在,单调递增，又因为t>0,所以在，即
,所以在，单调递增，因为，
则,而，故，得