2025高考数学一轮复习-2.3-奇偶性、对称性与周期性【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-2.3-奇偶性、对称性与周期性【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，函数的奇偶性，f－x＝fx，函数的周期性，考点突破题型剖析，x－1，法二由题意可设，ACD，抽象函数，抽象函数求值等内容，欢迎下载使用。
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
f(－x)＝－f(x)
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的______正周期.
解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
2.(多选)下列函数中为偶函数的是(　　)A.y＝x2sin x B.y＝x2cs xC.y＝ln |x| D.y＝2－x
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，
解析　由图象知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________________.
(－2，0)∪(2，5]
解析　因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.
解析　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
角度1　判断函数的奇偶性
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴函数f(x)为奇函数.
解　显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x0，－x0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a＝8.解得a＝－3.
(2)已知f(x)是奇函数，且当x0；③f′(x)是奇函数.
f(x)＝x4(x∈R)(答案不唯一)
解析　法一　∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
例3 (1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝(　　)A.－50 B.0 C.2 D.50
由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.
解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0　①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②.
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时.f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，
解析　因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
训练2 (1)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
∴f(2 020)＝f(6×336＋4)＝f(4).∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
例4 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　 )A.f(x)的图象关于x＝2对称B.f(x)的图象关于(2，0)对称C.f(x)的最小正周期为4D.y＝f(x＋4)为偶函数
解析　∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(3)＝f(1)，f(π)＝f(4－π).
训练3 (1)已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，
解析　∵f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，又∵2 022＝252×8＋6，∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于x＝2对称.当x∈[0，4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
角度1　单调性与奇偶性
解析　易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3＞lg25.1＞2＞20.8，且a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，∴g(3)＞g(lg25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.
例5 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.b＜a＜c D.b＜c＜a
解析　因为f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，且f(x＋2)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.由f(x)在(2，＋∞)上单调递减可得f(x)在(－∞，2)上单调递增，由f(ln x)＜f(1)，所以ln x＜1或ln x＞3，解得0＜x＜e或x＞e3.
(2)已知函数f(x＋2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)＜f(1)的解集是(　　)A.(0，1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(0，e)∪(e3，＋∞) D.(e，e3)
解析　∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.∴f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
例6 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
角度2　周期性与奇偶性
例7 (多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　 )A.f(x)为偶函数B.f(x)在[－6，－3]上单调递减C.f(x)关于x＝3对称D.f(100)＝9
角度3　对称性与周期性
解析　f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.
解析　∵函数f(x＋2)是偶函数，函数f(x)关于x＝2对称，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(－x＋4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f[－(－x)＋4]＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数的周期为8，∴f(－2 022)＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1.
训练4 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2 023)＝(　　)A.－3 B.－2 C.1 D.0
解析　∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数.∵f(－x－1)＝f(x－1)，∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数.
(2)(多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　)A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x＋3)是偶函数 D.f(x)＝f(x＋4)
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.
解析　∵f(8)＝3，∴f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，∴f(2)＝1.
解析　令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3.令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________.
解析　令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0，A正确；令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，故函数f(x)为奇函数，B正确；
例2 (1)(多选)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足(　 　)A.f(0)＝0B.y＝f(x)是奇函数C.f(x)在[1，2]上有最大值f(2)D.f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}
设x1＜x2，则x1－x2＜0，由题意可得f(x1－x2)＞0，即f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)为R上的减函数，∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，C错误；f(x－1)＞0等价于f(x－1)＞f(0)，又f(x)为R上的减函数，故x－1＜0，解得x＜1，D正确.
在上述等式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4).又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2.
可变形为f(x(x－3))≤f(4).又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
故x的取值范围是(3，4].
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
解析　由题意，得f(－x)＝－f(x)，则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意).
解析　∵偶函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＋f(－x)＝0，∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数y＝f(x)是以4为周期的函数，∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝f(－1).又当－1≤x≤0时，f(x)＝1－x2，故f(2 021)＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.
3.已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 021)＝(　　)A.2 B.0 C.－1 D.1
解析　∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；
5.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是(　 　)A.f(2 021)＝0B.2是f(x)的一个周期C.当x∈(1，3)时，f(x)＝(1－x)3D.f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)
∵当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3，当x∈(1，3)时，2－x∈(－1，1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；易知当x∈(0，2)时，f(x)＞0，∵f(x)的最小正周期是4，∴f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)，故D正确.
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)是奇函数，∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(8＋x)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴8为f(x)的一个周期，故B正确；
6.(多选)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，以下关于函数f(x)的说法正确的为(　　 )
由f(8＋x)＝f(x)可得f(8－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(8－x)＋f(x)＝0，故A不正确；
且图象的一条对称轴为直线x＝2，故C正确；由f(x)为奇函数且定义域为R知，f(0)＝0，又f(x)为周期函数，∴f(x)有无数个零点，故D正确.
解析　令g(x)＝asin x＋btan x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
7.已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
解析　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(26)＝f(2).∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
8.已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________.
解析　∵f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，即f(1)＝0.在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝0.
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝________.
证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数.
10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.解　∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]，∴f(4－x)＝2×(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
解　由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
11.设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解　由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示.
解析　∵f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，由此可在坐标系中画出y＝f(x)与y＝sin πx的大致图象，如图所示，
12.已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为(　　)A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(0，1)D.(－1，0)∪(0，1)
由图象可知，当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx，即当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx.
解析　依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋2)＝f(－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(0)＝0.又f(x)在区间[1，2]上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(1)>0.
A.f(b)