【数学】广东省两校2025届高三上学期1月第一次模拟考试试题（解析版）

这是一份【数学】广东省两校2025届高三上学期1月第一次模拟考试试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集为R：fx=1lg2x-1的定义域为集合A．x2-2x-3≥0的解集为集合B，则A∩∁RB=（ ）
A．0,3B．2,3C．2,3D．3,+∞
【答案】C
【解析】由fx=1lg2x-1，得到lg2x-1>0，即lg2x>1=lg22，即x>2，
∴A=2,+∞，
不等式x2-2x-3≥0，变形得：x-3x+1≥0，
解得：x≤-1或x≥3，即B=-∞,-1∪3,+∞，
∴∁RB=-1,3，
则A∩∁RB=2,3，
故选：C．
2．设P为双曲线x216-y29=1上一点，F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，若PF1=10，则PF2等于（ ）
A．2B．2或18C．4D．18
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义，PF1-PF2=2a=8，即10-PF2=8，解得PF2=2或18，均满足PF2≥c-a=5-4=1.
故选：B.
3．函数fx=x-4x-5的定义域为（ ）
A．4,+∞B．4,5∪5,+∞
C．4,5∪5,+∞D．-∞,-5∪4,5
【答案】B
【解析】要使函数fx=x-4x-5有意义，
则x-4≥0x-5≠0，解得x≥4且x≠5，
故函数fx的定义域为4,5∪5,+∞．
故选：B．
4．在等差数列an中，d=2，且a1=1，则a4等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】由题知，等差数列an的通项an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1，
于是a4=2×4-1=7.
故选：B.
5．口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列an为an=-1,第n次摸到红球1,第n次摸到白球，如果Sn为数列an的前n项和，那么S7=-3的概率为（ ）
A．C71×13×23B．C72×132×235
C．C73×133×23D．C74×134×23
【答案】B
【解析】由题意S7=-3说明共摸球七次，只有两次摸到白球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是23，摸到白球的概率是13.
故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是C72⋅132⋅235，
故选：B．
6．设复数z满足2-iz=3i，则z的共轭复数z=（ ）
A．-35-65iB．-35+65iC．35-65iD．-65+35i
【答案】A
【解析】由题意得z=3i2-i=3i2+i5=-35+65i，即z=-35-65i．
故选：A.
7．已知复数z满足2z+1=1-i，则z的虚部为（ ）
A．-1B．1C．-iD．i
【答案】A
【解析】由题，2z+1=1-i，则z=21-i-1=21+i1-i1+i-1=i，则z=-i，
故z的虚部为-1.
故选：A.
8．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)B．(0，12)C．(0,1)D．(0，＋∞)
【答案】B
【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（1x﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=12时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜12时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，12）．
故选B．
二、多选题
9．某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增dcm，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为α1，α2，α3，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为θ1，θ2，θ3，则（ ）
A．sinα1+sinα3=2sinα2B．tanα1+tanα3=2tanα2
C．csθ1+csθ3=2csθ2D．tanθ1+tanθ3=2tanθ2
【答案】BD
【解析】作正四棱台ABCD-A1B1C1D1，连接BD，
作点B1在平面ABCD内的射影O，则O在线段BD上，
过B1作B1M⊥BC交BC于M点，MO，
如图所示，
由图可知侧棱与底面所成的角为∠B1BO，
因为B1O⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以B1O⊥BC，
又因为B1M⊥BC，
且B1M⊂平面B1OM，B1O⊂平面B1OM，B1O∩BM=B，
所以BC⊥平面B1OM，而OM⊂平面B1OM，所以BC⊥OM，
所以∠B1MO为平面B1C1CB与平面ABCD的夹角，
即为四棱台侧面与底面所成的角，
令图①四棱台高为h，上下底面边长分别为a,b，
则tanα1=B1OBO=h122b-2a=2h2b-a，
同理可得tanα2=2h+d2b-a,tanα3=2h+2d2b-a，
所以tanα1+tanα3=2tanα2，B正确；
tanθ1=B1OMO=h12b-a=2hb-a，同理可得tanθ2=2h+db-a,tanθ3=2h+2db-a，
所以tanθ1+tanθ3=2tanθ2，D正确；
对于A：sinα1=hh2+12b-a2=2h2h2+b-a2，
同理可得sinα2=2h+d2h+d2+b-a2,sinα3=2h+2d2h+2d2+b-a2，
所以sinα1+sinα3≠2sinα2，A错误；
对于C：csθ1=12b-a14b-a2+h2=b-ab-a2+4h2，
同理可得csθ2=b-ab-a2+4h+d2,csθ2=b-ab-a2+4h+2d2，
所以csθ1+csθ3≠2csθ2，C错误，
故选：BD.
10．若x，y满足(x+y)2-83xy=2，则（ ）
A．x-y≤3B．x-y≥-2
C．xy≤1D．xy≥-34
【答案】AD
【解析】对于AB，令x-y=d，则x=y+d，把x=y+d代入(x+y)2-83xy=2，
得3(2y+d)2-8y(y+d)=6，整理得4y2+4dy+3d2-6=0，而y∈R，
则Δ=16d2-16(3d2-6)≥0，解得-3≤d≤3，A正确，B错误；
对于CD，2=x2+y2-23xy≥2|xy|-23xy≥2xy-23xy=43xy，解得xy≤32，
当且仅当x=y且xy≥0时取等号，C错误；
2≥2|xy|-23xy≥-2xy-23xy=-83xy，解得xy≥-34，当且仅当x=-y时取等号，D正确.
故选：AD
11．已知圆x2+y2=1和圆(x+4)2+(y-a)2=25相切，则实数a的值可以是（ ）
A．-25B．-4C．0D．25
【答案】ACD
【解析】圆x2+y2=1，圆心为0,0，半径为1，
圆(x+4)2+(y-a)2=25，圆心为-4,a，半径为5，
两圆心距离为-42+a2=16+a2，
当两圆外切时，有16+a2=1+5，解得a=±25；
当两圆内切时，有16+a2=5-1，解得a=0.
综上所述，实数a的值可以是±25或0.
故选：ACD.
三、填空题
12．已知函数f(x)=x,0