广东省三校2025届高三下学期二月第一次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份广东省三校2025届高三下学期二月第一次模拟考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因所以，所以.
故选：D.
2. 函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】和都是增函数，所以函数为增函数，
且，，，
，所以函数在区间存在唯一零点，所以函数的一个零点所在区间为.
故选：B.
3. 已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设椭圆的半焦距为，则由题设得，
解得，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
4. 某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.7C. 0.8D. 0.9
【答案】B
【解析】因为,所以正态曲线关于直线对称，且，
所以，所以.
故选：B.
5. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ）
A . B .
C . D.
【答案】B
【解析】扇形的圆心角为，半径为，
则扇形的面积.
故选：B.
6. 三棱锥中，，平面，，，则直线和直线所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
如图，将三棱锥放到长方体中，由题意知，∥，所以或其补角是直线和直线所成角，
因为，，所以，，，.
故选：C.
7. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（ ）
A. 正八面体的体积为
B. 正八面体的表面积为
C. 正八面体的外接球体积为
D. 正八面体的内切球表面积为
【答案】D
【解析】
把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为
选项A，正八面体的体积，设四棱锥的高为，
则，所以，A错误；
选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误；
选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故，
所以外接球体积，C错误；
选项D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，，
所以所以内切球表面积为.D正确.
故选：D.
8. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A. 3，3B. 3，－1
C. －1，3D. －2，－2
【答案】D
【解析】由题意得，.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】依题可得，即，则或，因为，所以或或．
故选：ACD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 是周期函数
C.
D. 在区间内单调递增
【答案】ABD
【解析】易知的定义域为，
又，
所以是奇函数，A正确；
由，
所以是周期函数，B正确；
由，C错误；
当时，，且单调递增，
此时，时，，且单调递减，
所以函数在上单调递增，
又由是奇函数，所以函数在上单调递增，
所以在区间内单调递增，D正确.
故选：ABD.
11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数为奇函数
B. 当时，在上单调递增
C. 若方程有实根，则
D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为，则的值为4044
【答案】ACD
【解析】对于A:
由解析式可知是奇函数，故A正确；
对于B:特殊值法，
即，若，则在上不是单调递增，故B错误.
对于C:令，分离参数后，
故，C正确；
对于D:由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2022个交点关于对称，
故，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则______.
【答案】
【解析】∵，，，
∴由余弦定理可得：，
∴解得：.
故答案为：.
13. 在的展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答）
【答案】
【解析】的展开式中，
含的项的系数是.
故答案为：.
14. 若圆与轴相切，则实数的值是_____.
【答案】
【解析】由，可得，
方程表示圆，则可得圆心为，半径为，
由圆与轴相切，则可得，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取到极值.
（1）求的值；
（2）当时，证明；
（3）如果，，满足，那么称比更靠近，当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由.
（1）解：由，
求导，
由，则，解得：，的值为1；
（2）证明：由题意可知：不等式左边为，
设，则.
，恒成立，
∴在单调递增；
，
∴，
（3）解：设，，
∵，，
∴在上为减函数，
又，
∴当时，;
当时，.
在上为增函数，
又，
∴时，，
∴在上为增函数，
∴.
①当时，
，
设，则，
∴在上为减函数，
∴，
∴，∴，∴，
∴比更靠近.
②当时，
，
设，则，
令,则，
单调递减，，
单调递减，
∴，
∴，∴比更靠近.
综上，在，时，比更靠近.
16. 某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：
（1）求这2000个产品的平均利润是多少；
（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？
附：，其中
解：（1）依题意可得平均利润为（元）.
（2）假设：男性和女性对这款足球产品的评价无差异，
依题意可得，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异.
17. 已知数列的前项和为，，.
（1）当为何值时，数列是等比数列？
（2）设数列的前项和为，，点在直线上，在（1）的条件下，若不等式对于但成立，求实数的最大值.
解：（1）由，得，
两式相减得，即，
所以，
由及，得，
因为数列是等比数列，所以只需要，解得，
此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）得，因为点在直线上，
所以，
故是以为首项，为公差的等差数列，
则，
所以，
当时，，
满足该式，所以，
不等式，
即，
令，
则，
两式相减得，
所以，
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，；当时，，
则的最小值为，
所以实数的最大值是.
18. 已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程；
（3）直线与圆心轨迹位于轴右侧的部分相交于两点，且，证明直线必过一定点，并求出该定点.
解：（1）设圆的方程为，，
由圆心到直线的距离为，
由弦长公式可得，解得，
可得圆的方程为；
（2）设的坐标为，由动圆与圆相外切，又与轴相切，，
当；当，
故可得动圆圆心的轨迹方程为或；
（3）设代入抛物线，消去得，
设，，则，，
∴
，
令，∴，∴，
∴直线过定点.
19. 平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为（）的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8.现将平面沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示.
（1）求折叠前C的标准方程；
（2）当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
解：（1）由题意得：，解得.
故折叠前椭圆的标准方程.
（2）当时，直线的方程为：，
联立，解得，，
以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则：
，，，，
故，，
设平面的法向量为，则
，即.
取，则，，故，.
平面的一个法向量为，
故.
设平面与平面的夹角为，则.
即平面与平面所成角的余弦值为.
法二：建系同法一.
于是，，
.
由三维空间三角形面积的计算公式可得
.
又易知在平面的正投影为，且.
设平面与平面所成的角为，
结合图象可知.
（3）以原来的轴为轴，轴正半轴为轴，轴负半轴为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设折叠前，则折叠后，，
设直线的方程为，其中，
联立，消去x得：，
显然，且，,
由，，得，
即①，
，
②，
由①②得：，
即是，
，
即，
即是，解得，
注意到，故，
从而存在满足条件的，且.等级
一级正品
二级正品
次品
频数
1000
800
200
满意
不满意
总计
男性
32
68
100
女性
61
39
100
总计
93
107
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828