广东省广州市天河区2025届高三1月模拟数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市天河区2025届高三1月模拟数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】直线的斜率为，所以，
解得.
故选：C.
2. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，因在曲线上，故
即，
故选：A.
3. 已知直线与垂直，则的值是（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】由题意得.
故选C.
4. 对于常数、，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】由题意，方程，可化为，
则对于常数、，“”，可得“方程表示的曲线是双曲线”是成立的；
反之对于常数、，“方程表示的曲线是双曲线”，则“”是成立的，
所以“”是“方程表示的曲线是双曲线”的充要条件
故选C.
5. 过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】抛物线的焦点的坐标为，
若直线的斜率为，则直线与抛物线只有一个交点，不满足条件，
故可设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
设，
则，
所以，
由已知，
设的中点为，
则，，
所以线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
所以，故，
所以，.
故选：B.
6. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
则两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，设，则，故，，
所以圆心到椭圆的最大距离
，
因为开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，故，则，
所以两点间的最大距离是．
故选：B.
7. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若,则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，显然直线不垂直于轴，
设直线的方程为，由消去，得，
设，则，由对称性不妨令点在第一象限，即，
由抛物线的定义，得，解得，，则
所以的面积．
故选：B.
8. 如图，A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点若，则C的离心率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，，直线，
联立，解得，即，
将代入直线，得，
因为，所以，
化简得，代入，得，
则，解得或（舍去）．
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线的斜率为
C. 直线不经过第三象限
D. 直线的一个方向向量为
【答案】CD
【解析】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误；
因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确；
取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确.
故选：CD.
10. 若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A 2B. C. D. 0
【答案】AD
【解析】因为圆的圆心为，
所以圆心到直线的距离为，所以或.
故选：AD
11. 已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别为，的离心率，点是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A. 面积为
B 若，则
C. 若，则的取值范围为
D. 若，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】设，，，
不妨设点是，在第一象限内的交点，则，
，，所以，，
在中，由余弦定理可得：，
即，
一方面，
所以，此时面积为
；
另一方面，，
所以，
此时面积为，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为且，所以，
所以，
所以，所以，又，
所以，故B正确；
当时，
由得，
即，所以，所以，，
对于C，令，
则，
所以，，故C错误；
对于D，，
记，则，
函数是对勾函数，在上单调递增，
所以，
即的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线与直线平行，则这两平行线间距离为_____
【答案】或
【解析】由题意直线与直线平行，
所以，解得，
所以两平行线、之间的距离为.
故答案为：.
13. 若直线经过抛物线的焦点，则________.
【答案】
【解析】可化为，焦点坐标为
由题意可得：，故．
故答案为：.
14. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率__________．
【答案】
【解析】
根据已知条件有，有正弦定理面积公式有：
，又，
所以，
设的外接圆半径为，内切圆半径为，
因为为椭圆上一点，则，又，
以的三边为底，内切圆半径为高的三个三角形面积和等于面积，
所以，解得，
由正弦定理有：，解得，
又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即，即，
所以，即，
即，两边同除以，得，又，解得.
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求的面积.
解：（1）因为，，所以BC所在的直线方程为，
即.
（2）B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以的面积为.
16. 已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
解：（1）由条件可知，，且，解得：，，
所以双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，，
时，，得；
当时，时，，得，满足条件，
综上可知，或.
17. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．
（1）求的面积；
（2）若直线交于两点，求．
解：（1）椭圆的方程为，所以，，
则，，
所以椭圆的面积；
（2）联立，得，
，，，
.
18. 圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由．
解：解方程组得，
（一）当时以上方程组的只有一个解，此时解得，则圆与椭圆有两个公共点.
（二）当时方程组的有两个不同的解或.
当时，.
（1）若或，圆与椭圆没有公共点；
（2）若，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若，圆与椭圆恰有二个公共点．
当时，，
（1）若或，圆与椭圆没有公共点；
（2）若，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若，圆与椭圆恰有二个公共点．
综上所述，圆与椭圆，当或时没有公共点；当时恰有一个公共点；当或或时恰有二个公共点；当时恰有三个公共点；当或时恰有四个公共点．
19. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值；
（3）若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围．
解：（1）由题可知，椭圆右焦点坐标为，抛物线焦点坐标为
所以,
所以抛物线方程为,
（2）
由题可知，为抛物线准线，所以点到的距离等于点到焦点的距离；
联立，
显然无实数根，故直线与抛物线相离，记点到的距离为,
所以的最小值为焦点到直线的距离为.
（3）
设点，已知点
所以的面积,
设的内切圆半径为,
则有,
所以,
所以,
因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点）,
所以，
所以,
经整理得：,
构造函数,
得,
显然单调增,
令，解得,
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以,
所以.