人教版高考数学第二轮专项练习专题16 圆锥曲线中的一类定值问题（原卷版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题16 圆锥曲线中的一类定值问题（原卷版），共8页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
1、在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率
2、在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率
3、在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
二、典型例题
1．（2020·辽宁大连·二模（理））已知点在抛物线上，过点作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设点、、，则直线的斜率为，可得，
同理可得直线的斜率为，直线的斜率为，
，所以，，则，，
因此，点的坐标为.
故选：A.
另解：在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.利用此二级结论：，，再回代入得到.
【反思】特别提醒，本题抛物线方程巧合是二级结论中的型抛物线，若是型抛物线，则结论.
2．（2020·安徽·三模（理））设抛物线：的焦点为，点在上，且，若过上一个定点引它的两条弦，，直线，的斜率存在且倾斜角互为补角，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为点在上，且，
所以，，抛物线方程为.
设，，则有，，.
于是，
所以.因此直线的斜率.
故选：A.
另解：由题意知：定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率，代入答案选A.
【反思】注意使用前先判断二级结论是否适用，先判定，后使用.
3．（2022·广西玉林·高二期末（理））已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)；(2)直线的斜率为定值，且定值为.
(1)由题意，则，又，
所以椭圆C的方程为，代入有，解得，
所以，故椭圆的标准方程为；
(2)由题设易知：，
法一：设直线为，
由，消去y，整理得，
因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标，
故M为，用代替k，得N为，
所以，故直线的斜率为定值．
法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，，
由，消去y，整理得，
所以，而，
又，代入整理得，
所以，即，
若，则直线过点T，不合题意，
所以．即，故直线的斜率为定值.
【反思】在本题第（2）问中，在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率，由于本题是解答题，故不可直接使用此二级结论，但可用该二级结论试探答案，再解答，如果本题是选择题，或者填空题，本题可直接使用此二级结论：.
4．（2021·全国·高二专题练习）已知双曲线过点，且离心率．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，6.
【详解】
（1）由题意，，，，
双曲线的方程为；
（2）设，，，，
设的方程为，代入双曲线方程，可得，
，
，，
，，
同理，．
．
故得证.
【反思】在本题第（2）问中，在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率，由于本题是解答题，故不可直接使用此二级结论，但可用该二级结论试探答案，再解答，如果本题是选择题，或者填空题，本题可直接使用此二级结论：.
三、针对训练 举一反三
一、填空题
1．（2020·广东云浮·高二期末）已知抛物线：，点在轴上，直线：与抛物线交于，两点，若直线与直线的斜率互为相反数，则点的坐标是______.
二、解答题
2．（2022·山西晋中·高二期末）已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.
4．（2020·浙江·高三专题练习）已知动点到直线的距离比到点的距离大.
（1）求动点所在的曲线的方程；
（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
5．（2019·浙江·高三阶段练习）如图，已知是抛物线上一点，直线，的斜率互为相反数，与抛物线分别交于，两点，且均在点的下方．
（1）证明：直线的斜率为定值；
6．（2021·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数.
（1）求直线的斜率；
7．（2019·云南保山·一模（理））已知点，点P是圆C：上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M．
求点M的轨迹方程；
过点作直线与点M的轨迹交于点E，过点作直线与点M的轨迹交于点F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由．
8．（2019·四川泸州·二模（文））已知，椭圆过点，两个焦点为，，是椭圆上的两个动点，直线的斜率与的斜率互为相反数．
求椭圆的方程；
求证：直线的斜率为定值．
9．（2019·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（理））如图，抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，点，， 均在抛物线上.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)当直线与的斜率存在且互为相反数时，求的值及直线的斜率.
10．（2018·江苏镇江·高二期中）已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；
（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．