人教版高考数学第二轮专项练习专题17 圆锥曲线中的一类定点问题（解析版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题17 圆锥曲线中的一类定点问题（解析版），共14页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点.同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
二、典型例题
1．（2022·安徽蚌埠·高二期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，
则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，
故 ，
所以直线l为：，当时，，
即直线l恒过定点，
故选：A.
另解：对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点,本题中由于直线的斜率之积为，所以，直接使用二级结论，所在直线过点，即.
【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，解答题可以把二级结论当做工具试探答案，但是不可以直接使用二级结论，如确实要用，需先证后用.
2．（2021·安徽·合肥市第六中学高三开学考试（文））已知抛物线，和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
若直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设点、，设直线的方程为，
联立，消去可得，
，所以，，
因为，则，解得.
因此，抛物线的方程为.
故选：B.
另解：对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点,本题中由于,符合使用条件，由于弦恒过定点，所以.
【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，注意先判断，后使用.
3．（2022·江苏·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设直线的方程为，，，
由 得，
由根与系数的关系可得：，，
若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），
可得，所以，即，
所以，
，
所以，
即，解得或（舍）
所以直线的方程为，恒过点，
故选：D
另解：抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点,本例中，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），
可得，所以，即，所以直线过定点，即.
【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，注意先判断，后使用.
4．（2020·山东省实验中学高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，且满足，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；
(3)已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
(1)
由已知，解得，，则，
故椭圆的标准方程为．
(2)
设，则，又，．
∴．
由于在椭圆上，∴．
由在区间上单调递增，可知
当时，取最小值为0；当时，取最大值为12．
故的取值范围是
(3)
由消去得：．
设，，则，
， ．
由得．
，即，
可得，则，
即
化简得．
∴或，均适合．
当时，直线过，舍去；
当时，直线过定点．
故直线l恒过定点.
【反思】在本题第（3）问中，由，即，
可得，符合可以使用的二级结论：对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.即l过定点，即,注意，本题作为解答题，不可以直接使用该结论，但是可以用该二级结论试探答案，做到心中有数.
三、针对训练 举一反三
1．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
【答案】
【解析】设的方程为,则由.
设,则是该方程的两根,∴,.
又,,故，∴,又,,
∴,代入,得：
整理得：,∴,∴或.
当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.故答案为：
2．（2022·四川巴中·一模（文））已知椭圆C：（a>b>0）的左､右焦点分别为，，点满足，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若，证明直线l恒过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析.
(1)由,则，所以
又，则点在椭圆上
所以，又
联立解得
所以椭圆C的方程；
(2)由题意，根据条件直线的斜率必存在
设直线的方程为，
由 ，得
所以
（*）
由，则

所以，即，即或（舍）
将代入（*）成立.
所以直线的方程为，
所以直线恒过点
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在；
(1)；设，且，则
所以
(2)设，直线MN的方程为；
联立及，得，
所以，（*）
若以MN为直径的圆过点B，则，即
将带入整理得；
带入（*），化简整理得5，解得，或（舍）
，满足，故存在，使得以MN为直径的圆过恒过定点B；
4．（2021·天津市静海区第六中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率是，一个顶点是.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）椭圆焦点在轴上，所以，解得，
所以椭圆方程为.
（2）依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，
由消去并化简得，
则①，
，即.
因为，且直线的斜率均存在，
所以，整理得②，
因为，
所以，，代入②整理得：
，
将①代入上式并化简得，解得或（舍去），
使成立.
所以直线恒过定点.
5．（2021·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知抛物线为上一点且纵坐标为轴于点，且，其中点为拋物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为坐标原点，是抛物线上不同的两点，且满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.
【详解】
（1）设，
根据抛物线的定义可得，，
又轴于点，则，
∵，∴，则，
∴，∵在抛物线上，将点代入抛物线方程，
∴，解得，故抛物线的方程为.
（2）依题意可知直线与轴不平行.
设直线为，，，
联立直线与抛物线，化简整理可得，
由韦达定理可得，，，
∵，
∴
，
∴或（舍去），
故直线恒过定点.
6．（2021·全国·模拟预测（理））已知为椭圆()与直线的两个交点，且，椭圆E的离心率是方程的一个根.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作斜率存在的两条射线，交椭圆于两点，且，问：直线是否恒过定点？若经过，求出这个定点坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点，定点的坐标为.
【详解】
（1）解方程得或.
因为椭圆E的离心率是方程的一个根，且其离心率
所以,即，
所以，所以，
所以()可化为，
整理得.
联立方程消去得，
整理得，则，解得，
所以，
所以.
因为，所以，所以，
所以，所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设，
联立整理得，
，，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
整理得，
所以或，
当时，，恒过(3，0)，此时重合，舍去；
当时，，恒过点，
当直线的斜率不存在时，轴，经计算可知此时直线也过点，
所以直线恒过定点，该定点的坐标为.
7．（2021·江西赣州·二模（文））已知椭圆的标准方程为，椭圆上的点到其两焦点的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的上顶点，、为椭圆上不同于点的两点，且满足直线、的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求定点的坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析；定点．
【详解】
（1）由椭圆的定义可得，，
将点代入椭圆方程得，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）由题意得.
①当直线的斜率不存在时，设、，
所以，，所以，
又，所以，不合乎题意；
②当直线的斜率存在时，设直线为，设、，
联立，得，
，
所以，
，
即，
即，
整理得，解得或（舍去）.
所以直线的方程为，即直线过定点.
【点睛】
方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
8．（2021·全国·高三专题练习）已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且是椭圆与双曲线某个交点的横坐标．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线恒过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由双曲线和椭圆，，之间的等量关系求出椭圆方程；（2）设直线：，将直线方程和椭圆方程联立，根据韦达定理及，求出的值，从而证得直线恒过定点．
【详解】
解：（1）由已知可得双曲线方程为．
∵，∴交点为．
设椭圆的方程为，
代入，得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：显然直线与轴不垂直．
设直线：与椭圆：相交于，，
由得，
∴，．
∵，∴，
即，
，
∴，
整理得，
即．
∵，，
整理得，∴，
∴直线恒过定点．