人教版高考数学第二轮专项复习专题14 圆锥曲线中的一类定点问题 -高中数学经典二级结论解读与应用训练（原卷版）

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结论十四：圆锥曲线中的一类定点问题
结
论
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(a2-b2)aa2+b2,0.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点-(a2-b2)aa2+b2,0.
(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(a2+b2)aa2-b2,0.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为-(a2+b2)aa2-b2,0.
(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA·OB=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA⊥OB,则直线AB过定点(0,2p).
解
读
圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。
典
例
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
解
析
反
思
由题意知，所以，即，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程由韦达定理得出，，代入化简得直线的方程即可求出所过的定点.
本题的关键点是由，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），得出，设直线的方程为，，。即，联立方程，结合韦达定理即可求解.
针对训练*举一反三
1．已知抛物线，过点引抛物线的两条弦、，分别交抛物线于两点，且，则直线恒过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
3．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（ ）
A．B．12,0C．D．
4．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
6．已知抛物线的焦点为，是上一点，且，设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点则直线过定点，定点坐标为__________.
7．已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线恒过定点，求出定点的坐标.
8．双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.
9．已知抛物线:（）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于不同两点，若满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．