人教版高考数学第二轮专项练习专题17 圆锥曲线中的一类定点问题（原卷版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题17 圆锥曲线中的一类定点问题（原卷版），共8页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点.同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
二、典型例题
1．（2022·安徽蚌埠·高二期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，
则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，
故 ，
所以直线l为：，当时，，
即直线l恒过定点，
故选：A.
另解：对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点,本题中由于直线的斜率之积为，所以，直接使用二级结论，所在直线过点，即.
【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，解答题可以把二级结论当做工具试探答案，但是不可以直接使用二级结论，如确实要用，需先证后用.
2．（2021·安徽·合肥市第六中学高三开学考试（文））已知抛物线，和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
若直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设点、，设直线的方程为，
联立，消去可得，
，所以，，
因为，则，解得.
因此，抛物线的方程为.
故选：B.
另解：对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点,本题中由于,符合使用条件，由于弦恒过定点，所以.
【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，注意先判断，后使用.
3．（2022·江苏·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设直线的方程为，，，
由 得，
由根与系数的关系可得：，，
若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），
可得，所以，即，
所以，
，
所以，
即，解得或（舍）
所以直线的方程为，恒过点，
故选：D
另解：抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点,本例中，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），
可得，所以，即，所以直线过定点，即.
【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，注意先判断，后使用.
4．（2020·山东省实验中学高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，且满足，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；
(3)已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
(1)
由已知，解得，，则，
故椭圆的标准方程为．
(2)
设，则，又，．
∴．
由于在椭圆上，∴．
由在区间上单调递增，可知
当时，取最小值为0；当时，取最大值为12．
故的取值范围是
(3)
由消去得：．
设，，则，
， ．
由得．
，即，
可得，则，
即
化简得．
∴或，均适合．
当时，直线过，舍去；
当时，直线过定点．
故直线l恒过定点.
【反思】在本题第（3）问中，由，即，
可得，符合可以使用的二级结论：对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.即l过定点，即,注意，本题作为解答题，不可以直接使用该结论，但是可以用该二级结论试探答案，做到心中有数.
三、针对训练 举一反三
1．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；
2．（2022·四川巴中·一模（文））已知椭圆C：（a>b>0）的左､右焦点分别为，，点满足，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若，证明直线l恒过定点.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
4．（2021·天津市静海区第六中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率是，一个顶点是.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.
5．（2021·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知抛物线为上一点且纵坐标为轴于点，且，其中点为拋物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为坐标原点，是抛物线上不同的两点，且满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
6．（2021·全国·模拟预测（理））已知为椭圆()与直线的两个交点，且，椭圆E的离心率是方程的一个根.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作斜率存在的两条射线，交椭圆于两点，且，问：直线是否恒过定点？若经过，求出这个定点坐标；若不经过，请说明理由.
7．（2021·江西赣州·二模（文））已知椭圆的标准方程为，椭圆上的点到其两焦点的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的上顶点，、为椭圆上不同于点的两点，且满足直线、的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求定点的坐标．
8．（2021·全国·高三专题练习）已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且是椭圆与双曲线某个交点的横坐标．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线恒过定点．