人教版高考数学第二轮专项练习专题11 与等比数列相关的结论（解析版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题11 与等比数列相关的结论（解析版），共7页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
已知等比数列,公比为,前项和为.
(1)().
(2)若,则();反之,不一定成立.
(3),,,成等比数列().
(4)公比时,,,,成等比数列().
(5)若等比数列的项数为(),公比为,奇数项之和为,偶数项之和为,则.
(6),是等比数列,则,,,也是等比数列(,).
(7)通项公式.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为,,;四个数成等比数列,通常设为,,,.
二、典型例题
1．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
【反思】公比时,,,,成等比数列()，此结论可快速解题，解题时注意等比数列的正负性问题.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
【反思】利用结论若等比数列的项数为(),公比为,奇数项之和为,偶数项之和为,则，可直接根据结论求出，进而求出其它量.
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2022·广东潮阳·高二期末）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．5B．10C．4D．
【答案】A
【解析】
【详解】
由题有，则
=5.
故选：A
2．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列中，若，则有等式(且)成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有（ ）
A． (且)
B． (且)
C． (且)
D． (且)
【答案】B
【详解】
在等差数列中，若则，
若，则，
所以成立，
当时，(且)成立，
在等比数列中，若则，
若，则，
所以成立，
当时，＝(且)成立，
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12B．30
C．45D．81
【答案】C
【详解】
显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，
，，
，则，
，则.
故选：C.
4．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得
为等比数列
又
故选：．
5．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
6．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
7．（2022·上海·高考真题）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则数列单调递增
B．若，则数列单调递增
C．若数列单调递增，则
D．若数列单调递增，则
【答案】D
【详解】
A：由，得，即，则、取值同号，
若，则不是递增数列，故A错误；
B：由，得，即，则、取值同号，
若，则数列不是递增数列，故B错误；
C：若等比数列，公比，则，
所以数列为递增数列，但，故C错误；
D：由数列为递增数列，得，所以，
即，所以，故D正确.
故选：D
8．（2021·全国·高二课时练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【详解】
设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，
故
.
故选：B
二、填空题
9．（2021·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为_____.
【答案】
【详解】
根据题意，设正项等比数列的公比为，其中，
因为，可得，解得或，
因为，所以，所以，
则，故，
当时，则由，
则有，
所以数列中最大的项为.
故答案为：.
10．（2020·江西省都昌县第二中学高二阶段练习）已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，下列命题中正确的是______．（写出全部正确命题的序号）
（1）若等比数列单调递增，则，且；
（2）数列：，……，也是等比数列；
（3）；
【答案】（3）
【详解】
解：对于（1），若等比数列单调递增，
则，
所以或，故（1）错误；
对于（2），若，n为偶数，则，
即，
因为等比数列中的项不可能为0，故此时，……，不是等比数列，故（2）错误；
对于（3），当时，
，
故（3）正确.
故答案为：（3）.
三、解答题
11．（2020·上海·高三专题练习）解答下列各题：（奇表示奇数项和，偶表示偶数项和）
（1）是等比数列，，项数为偶数．奇＝85，偶＝170，求；
（2）是等差数列，共项，为奇数，，偶，，求通项公式．
【答案】（1）8；（2）.
【详解】
（1），所以，解得；
（2）奇＝偶＝44，＝奇－偶＝44－33＝11，即，由，可得，∴．
所以通项公式为．.