人教版高考数学第二轮专项复习专题07 等差数列 -高中数学经典二级结论解读与应用训练（原卷版）

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结论七：等差数列
结

论
设Sn为等差数列{an}的前n项和.
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n⇒ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).
(2)ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.
(4)Snn=d2n+a1-d2是关于n的一次函数或常函数,数列Snn也是等差数列.
(5)Sn=n(a1+an)2=n(a2+an-1)2=n(a3+an-2)2=….
(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,S偶S奇=am+1am.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,S奇S偶=mm-1.
(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n). (9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.
解
读
对于等差数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
典
例
首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）
①若，则；②若，则使的最大的为15；③若，，则中最大；④若，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解
析
反
思
一般等差数列前项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列的前项和（为常数）为关于的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.
本题中由①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在，使，再结合等差数列的前项和公式判断选项；④利用公式，判断选项.
针对训练*举一反三
1．等差数列的前项和为25，前项和为100，则它的前项和为（ ）
A．125B．200C．225D．275
2．已知数列满足，且前项和为，若，则（）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（ ）
A．4041B．4039C．2021D．2020
4．已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（ ）
A．B．C．10D．20
5．等差数列的公差，前项和为，若对于任意，都有，则（ ）
A．B．C．D．是递增数列
6．已知数列对任意的有，若,则_______.
7．已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.