人教版高考数学第二轮专项复习专题08 等比数列-高中数学经典二级结论解读与应用训练（解析版）

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结

论
已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.
(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).
(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.
(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*).
(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶S奇=q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},1an,{anbn},anbn也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w
(7)通项公式an=a1qn-1=a1q·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为xq,x,xq;四个数成等比数列,通常设为xq3,xq,xq,xq3.
解
读
对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
典
例
等比数列的前项和为，则_______.
解
析
【答案】
【详解】等比数列的前项和为，则也成等比数列，
而所以成等比数列，故，
所以.
反
思
本题根据等比数列的前项和的性质可知也成等比数列，再利用即求得，即得结果. 本题的解题关键在于熟知等比数列的“等距片段和”也成等比数列，进而突破难点.
针对训练*举一反三
1．在各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．1B．9C．D．
【答案】B
【详解】因为为各项为正的等比数列，，，
所以
2．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得
为等比数列，又，，
3．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．255B．375C．250D．200
【答案】A
【解析】由题得，成等比数列，则有，，解得，同理有，，解得.故选：A
4．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】依题意得等比数列{an}的通项，所以，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，所以数列的前n项和为.
5．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（ ）
A．50B．60C．70D．80
【答案】B
【详解】数列是等比数列，，，，也成等比数列，即，，，也成等比数列，易知公比，，，
.
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2 020＝（ ）
A．22 019－B．1－2 019
C．22 020－D．1－2 020
【答案】A
【详解】设{an}的公比为q，，，解得，，可得，.
7．设等比数列的前项和为，公比，则_____________.
【答案】36
【详解】设，因为公比，
故，同理.又，故，解得，故.
8．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】D
【解析】由 ，可得，进而可得 ， .