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    专题06 三角形“四心”向量形式的充要条件 -高中数学必备考试技能(原卷版)学案
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    专题06 三角形“四心”向量形式的充要条件 -高中数学必备考试技能(原卷版)学案

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    这是一份专题06 三角形“四心”向量形式的充要条件 -高中数学必备考试技能(原卷版)学案,共2页。

    结论六:三角形“四心”向量形式的充要条件


    设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
    O为△ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|=a2sinA.
    (2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.
    O为△ABC的垂心⇔OA·OB=OB·OC=OC·OA.
    (4)O为△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.


    三角形“四心”向量形式的充要条件直接来记忆一是难记,二是容易混淆;所以对于这四个结论的应用要以图形为基础进行理解,若用到时再推导即可。


    设点是的重心,且满足,则_______。




    解决本题的关键是三角形重心的性质及平面向量线性运算的应用,结合余弦定理即可得解.由重心的性质及平面向量的线性运算可得,进而可得,再由余弦定理即可得解.
    针对训练*举一反三
    1.(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半,”这就是著名的欧拉线定理.设中,点O、H、G分别是外心、垂心和重心,下列四个选项中结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    2.(多选题)已知是边长为2的正三角形,该三角形重心为点G,点P为所在平面内任一点,下列等式一定成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    3.设的内角的对边分别为,点为的重心且满足向量,若,则实数( )
    A.3B.2C.D.
    4.过△OAB的重心G的直线与边OA,OB分别交于点P,Q,设=h·,=k,则=____.
    5.已知点G是的重心,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且,则角__________.
    6.在中,,,,若点为三角形外心,则满足关系式:的有序实数对________.
    7.在锐角ABC中,,若点P为ABC的外心,且,则x+y的最大值为________.
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