(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题09平面向量9.3《三角形四心及面积问题》（解析版）

题九  《平面向量》学案

9.3 三角形四心及面积问题

题型一. 三角形四心

考点1.重心

1．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m＝（　　）

A．1 B． C． D．

【解答】解：因为2，

又，所以，

则，所以，

所以m，

故选：C．

2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ（）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【解答】解：∵设它们等于t，

∴λ（）

而2

λ（）表示与共线的向量

而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．

故选：C．

3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得||2+||2+||2取得最小值的点，则点P是△ABC的（　　）

A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心

【解答】解：根据题意，设，，，，

则||2+||2+||232（）•（），

当（）时，上式取得最小值，此时P是△ABC的重心．

故选：A．

考点2.内心

1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的　内　心．

【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，

动点P满足，

即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．

故答案为：内

2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若，则O是△ABC的（　　）

A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

【解答】解：∵，

∴ab（）+c（）

＝bc（a+b+c）

而 ，

∴（a+b+c）bc

即

记c，b，其中、分别表示、方向上的单位向量

则 （）

由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．

故选：D．

考点3.外心

1．设P是△ABC所在平面内的一点，若，且．则点P是△ABC的（　　）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【解答】解：取AB的中点D，则2，

∵，即22，

∴（）＝0，即，

∴P在AB的中垂线上，

∴PA＝PB，又AP＝CP，

∴P为△ABC的外心．

故选：A．

2．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（　　）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则2，

∵•（）＝2•，即2•2•，

∴•（）•0，即⊥，

∴P在AB的中垂线上，

又．

∴（）•（）＝﹣2•，

∴（）•2•，

即•（）＝2•，

∴点P也在BC的中垂线上，

∴点P是△ABC的外心．

故选：A．

考点4.垂心

1．已知O为△ABC所在平面上一点，且222222，则O一定为△ABC的（　　）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【解答】解：∵2222，

∴2+（）22+（）2，

即222﹣2•222﹣2•，

即••，即•（）•0，

即OC⊥AB，

同理，OB⊥AC，OA⊥BC．

∴O是△ABC的垂心．

故选：D．

2．O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．

则•，

同理，

∵动点P满足，λ∈R．

∴，λ∈R．

∴0，

∴，

因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．

故选：D．

题型二. 面积问题——奔驰定理

1．已知点O为三角形ABC内一点，，则　3　．

【解答】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；

∴；

∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；

∴DEOE，AB＝2DE；

∴AB＝3OE；

∴．

故答案为：3．

2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，

且，

点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边，

从而有，，

，有．

故选：B．

3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比值为　　．

【解答】解：如图，取BC的中点为D，则，

∵，

∴，

∴，∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

4．平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：

• ；

故选：C．

5．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为　3　．

【解答】解：设P的坐标为（x，y），则

（2，1），（1，2），（x﹣1，y+1），∵，

∴，解之得

∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组

作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部

其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）

∵|CF|，

点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d

∴平行四边形CDEF的面积为S＝|CF|×d3，即动点P构成的平面区域D的面积为3

故答案为：3

6．设 P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：设，，则

∵，∴

由平行四边形法则知NP∥AB

∴△ABP的面积与△ABC的面积之比

同理△ABQ的面积与△ABC的面积之比为

∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

故选：D．