天津市部分区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份天津市部分区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.
1. 已知直线过、两点，则直线的倾斜角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以直线的倾斜角为，选C.
2. 直线的一个方向向量为（ ）
A. B. -3,2C. 2,3D.
【答案】B
【解析】由得，，所以直线一个方向向量为，
而，所以也是直线的一个方向向量.
故选：B.
3. 如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
又，，，所以.
故选：C.
4. 若直线与直线垂直，则实数（ ）
A. B. 0
C. 1D. 0或1
【答案】D
【解析】由两条直线垂直可得：，
即，解得：或.
故选：D.
5. 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，
则直线与所成角的余弦值为
，
故选：D.
6. 已知直线，，，且与间的距离为3，则（ ）
A. 26B. 46
C. 或46D. 或26
【答案】C
【解析】由，可得：，解得：，则直线，
又，解得：或，所以或46，
故选：C.
7. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．
因为，所以点P到直线EF的距离为．
故选：A.
8. 已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，即圆心，半径为2，
要使，则圆心到直线的距离，
设直线方程为：，所以，解得.
故选：A.
9. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：
由圆，则圆心，半径，
因为与圆分别相切于，所以，，
设，，，易知，
易知，则，可得，即，
在中，，则，即，
由图可知，则，
整理可得，
由图易知当垂直于直线时，取得最小值，则，
由函数在上单调递增，则最小值为，
以为直径的圆的面积，所以面积的最小值为.
故选：C.
第II卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 已知，，若，则实数的值为________．
【答案】
【解析】因为，所以，所以.
11. 若直线与圆相切，则实数________．
【答案】0或
【解析】由可得：，
所以圆心为，半径为2，
由题意可得：，解得：或.
12. 如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为________．
【答案】
【解析】连接，由为 的中点，可得为 的中点, 又是线段的中点，
所以.
13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为_____________.
【答案】或
【解析】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零
所以设直线方程为或,
再因为直线过点可得，,可得.
所以直线方程为或.
14. 已知，，，则的面积为________．
【答案】3
【解析】由条件可得：，
直线方程为：，即，
点到的距离为：，
又，所以的面积为.
15. 给出下列命题：
（1）直线与线段相交，其中，，则实数的取值范围是；
（2）若点关于直线的对称点为，则的坐标为；
（3）圆上恰有3个点到直线的距离为1．
其中正确命题有________．（把所有正确的命题的序号都填上）
【答案】（2）（3）
【解析】（1）直线过定点，则，，
由图象可知：直线与线段AB相交，则，故（1）不正确；
（2）假设点关于直线的对称点为，
则的中点坐标为，
此时，即中点在直线上，
又因为，直线的斜率是2，相乘等于，
可知与直线垂直，
所以假设成立，故（2）正确；
（3）圆的圆心为，半径，
圆心C到直线l的距离为，
与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，
因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确；
故答案为：（2）（3）．
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知，，，，．
（1）求；
（2）若，求实数，的值．
解：（1），，
，，；
（2）
因为，所以设，
即，故，解得.
17. 已知直角的直角顶点，且在轴上．
（1）求点的坐标；
（2）求斜边中线的方程．
解：（1）设顶点的坐标为，
由题可得，解得，故点的坐标为．
（2）由（1）可知斜边的中点为，
则斜边的中线的斜率为，
代入点斜式方程得．
即.
18. 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
（1）证明：连接，

在中，因为，分别为，的中点，
所以,又平面，平面，
所以平面．
（2）解：如图，以为坐标原点，，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系．

则，A2,0,0，，，，，，
，．
设平面的法向量为n=x,y,z，
，即
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
设点到平面的距离．
，
所以点到平面的距离为．
19. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，圆．
（1）求圆的方程；
（2）判断圆与圆的位置关系并说明理由；若相交，求两圆公共弦的长．
解：（1），中点坐标
直线的斜率为，
直线的垂直平分线的斜率为，
直线的垂直平分线的方程，
即，联立方程，
解方程组得，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为：.
（2）由（1）圆圆心，半径，
圆圆心，半径，
，
∵，
所以圆和圆相交，
设交点为，，直线方程为，
即：.
，运用点到直线距离公式计算得到到直线的距离，
所以．
两圆公共弦的长．
20. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由．
（1）证明：因为是正方形，，是，的中点，所以，
因为平面，，平面，
所以，，
所以如图以为原点，，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A2,0,0，，，，
，，
，，，
∴ ∴
（2）解：设平面与平面夹角，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，得，，∴，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
∴，，
∵，∴，
∴平面与平面夹角.
（3）解：由题可知，
设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，
且，
∴，∴，
∴，∴，
∴，
整理得，
解得或（舍），
∴，
即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．