2024-2025学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线2x−2 3y+5=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知a=(0,2,1)，b=(1,4,−1)，则|a−b|=( )
A. 2B. 5C. 3D. 37
3.抛物线x2=2y的准线方程为( )
A. x=12B. x=−12C. y=12D. y=−12
4.某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟.根据这个计划，该同学第十天的运动时长为( )
A. 45分钟B. 50分钟C. 55分钟D. 60分钟
5.已知直线l1：mx+y−4=0与l2：(m+2)x+my+4=0平行，则实数m的值为( )
A. −3或0B. −1C. −1或2D. 2
6.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的渐近线与圆(x−2)2+y2=3相切，则b的值是( )
A. 33B. 1C. 3D. 5
7.已知{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，a1a5=a3，且2a4与a5的等差中项为4，则S4等于( )
A. 74B. 154C. 152D. 314
8.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=4，E为A1D1的中点，F为CC1的中点，则直线BD与EF所成角的余弦值为( )
A. 16B. 26C. 13D. 23
9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上(异于A，B)，设直线AP的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，且k1⋅k2≤−12，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. (0, 22]B. [ 22,1)C. (0,12]D. [12,1)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知x，y∈R，a=(2,x,−4)与b=(6,18,y)共线，则x−y= ______．
11.已知{an}为等差数列，Sn为它的前n项和，若S9=18，则a2+a8= ______．
12.圆C1：x2+y2−4x+2y=0关于直线y=x对称的圆C2的方程为______．
13.已知F为抛物线C：y2=8x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为4 3(O为坐标原点)，则|PF|= ______．
14.已知数列{an}满足an+1=an+1(n∈N∗)，a2=2.设bn=1an⋅an+2,n为奇数时,an,n为偶数时.则数列{bn}的前10项和为______．
15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，离心率为e，直线l：y=x与双曲线交于A，B两点，且AF⊥BF，则e2= ______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知{an}为等差数列，a2=6，a3+a5=24.{bn}为等比数列，且b2=4，b3=a3−1．
(Ⅰ)求{an}与{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设cn=an+bn(n∈N∗)，求数列{cn}的前n项和．
17.(本小题12分)
已知直线l1：x+y−1=0，l2：2x−y−8=0.圆心为(2,1)的圆C经过l1和l2的交点．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)经过点(0,−2)的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=2 6，求l的方程．
18.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=3，AC=BC=2，E是棱BC的中点．
(Ⅰ)求证：A1B//平面AC1E；
(Ⅱ)求平面AC1E与平面BCC1B1夹角的余弦值；
(Ⅲ)求点A1到平面AC1E的距离．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−1(n∈N∗)．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)求证：a2S1⋅S2+a3S2⋅S3+a4S3⋅S4+⋯+anSn−1⋅Sn+an+1Sn⋅Sn+1b>0)的离心率为12，A为椭圆的左顶点，B为椭圆的上顶点，F1为椭圆的左焦点，且△AF1B的面积为 32．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON|= 3|OF1|(O为坐标原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.D
6.C
7.B
8.B
9.A
10.18
11.4
12.(x+1)2+(y−2)2=5
13.8
14.33511
15.2+ 2
16.解：(Ⅰ){an}为等差数列，设公差为d，
由a2=6，a3+a5=24，可得a1+d=6，2a1+6d=24，
解得a1=d=3，则an=3+3(n−1)=3n；
{bn}为等比数列，设公比为q，由b2=4，b3=a3−1=8，
可得q=b3b2=2，b1=2，则bn=2n；
(Ⅱ)由cn=an+bn(n∈N∗)，可得cn=3n+2n，
则数列{cn}的前n项和为12n(3+3n)+2(1−2n)1−2=32n2+32n+2n+1−2．
17.解(Ⅰ)联立x+y−1=02x−y−8=0，解得x=3y=−2，
即直线l1和l2的交点P(3,−2)，
由题意可得圆的半径r= (3−2)2+(−2−1)2= 10，
所以圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=10；
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时圆心到直线l的距离d=2，
此时弦长|MN|=2 r2−d2=2 10−4=2 6，符合条件；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx−2，即kx−y−2=0，
则圆心(2,1)到直线l的距离d=|2k−1−2| k2+(−1)2=|2k−3| k2+1，
弦长|MN|=2 r2−d2=2 10−d2=2 6，即d2=4，
所以(|2k−3| k2+1)2=4，解得k=512，
此时直线l的方程为y=512x−2，即5x−12y−24=0．
综上所述：直线l的方程为x=0或5x−12y−24=0．
18.(Ⅰ)证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OE，则O是A1C的中点，
因为E是BC的中点，所以OE//A1B，
又OE⊂平面AC1E，A1B⊄平面AC1E，
所以A1B/​/平面AC1E.
(Ⅱ)解：由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，
以C为原点建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,1,0)，C1(0,0,3)，
所以EA=(2,−1,0)，EC1=(0,−1,3)，
设平面AC1E的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EA=2x−y=0m⋅EC1=−y+3z=0，
取x=3，则y=6，z=2，所以m=(3,6,2)，
易知平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,0,0)，
设平面A1BC与平面BCC1夹角为θ，
则csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=3 9+36+4×1=37，
故平面AC1E与平面BCC1B1夹角的余弦值为37．
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知平面AC1E的一个法向量为m=(3,6,2)，AA1=CC1=(0,0,3)，
所以点A1到平面AC1E的距离为|AA1⋅m||m|=67．
19.解：(Ⅰ)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−1(n∈N∗)，可得a1=S1=2a1−1，解得a1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，化为an=2an−1，
即有数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
则an=2n−1；
(Ⅱ)证明：an+1SnSn+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，
则a2S1S2+a3S2S3+...+an+1SnSn+1=1−13+13−17+...+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1