天津市部分区2024-2025学年高一下期中练习数学试卷（解析版）

这是一份天津市部分区2024-2025学年高一下期中练习数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考公式：
·圆柱的体积公式，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.
·球的表面积公式，其中R表示球的半径.
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，化简得，所以.
故选：C
2. 在中，角所对的边分别为．若，，，则（ ）
A. B. 7C. 19D. 49
【答案】B
【解析】由余弦定理得，，解得，
故选：B．
3. 已知，，且，则实数（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由题意可得，，
因，则，得.
故选：A
4. 已知是两个平面，是两条直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】对于A选项，若，则可能平行或异面，所以A错误；
对于B选项，若，则垂直于内的任意直线，，所以B正确；
对于C选项，若，则可能平行或相交或异面，所以C错误；
对于D选项，若，则或，所以D错误.
故选：B
5. 已知，不共线，，，（），若三点共线，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】，
，
因为三点共线，所以，即，
因为不共线，故，解得.
故选：A
6. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形ABCD的周长为
D. 四边形ABCD的面积为
【答案】D
【解析】由题设，A错；
由斜二测画法知，，，，
易知原四边形为直角梯形，，
所以，
四边形的周长为，面积为，B、C错，D对.
故选：D
7. i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，
复数为纯虚数，则，解得，故，
故复数，
故复数在复平面上对应的点坐标为，位于第四象限.
故选：D
8. 在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为2，则，
故，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
9. 在中，，，.若，（），且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，，，则，
所以，即为直角三角形，
，，可得，则，如下图，
，
所以，
则，可得，则且与反向共线，
所以.
故选：B
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.
10. 已知，，则与的夹角的余弦值为______.
【答案】
【解析】设与的夹角的大小为，
故.
故答案为：
11. i是虚数单位，复数______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______.
【答案】
【解析】在上的投影向量为，故，
故，所以.
故答案为：
13. 已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为______.
【答案】
【解析】如图为圆柱上下底面圆圆心，
已知圆柱的底面半径，由其体积为，可得，
该圆柱的外接球记为球，则为的中点，
根据勾股定理有：，即外接球的半径为，
所以该外接球的表面积为，
故答案为：.
14. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，且在点测得塔顶的仰角为，则______m．
【答案】
【解析】因为，，所以，
在中，由正弦定理得，，解得，
在中，，
故答案为：.
15. 在矩形中，，，，.若，其中为实数，则______；若为线段上的动点，则的最小值为______.
【答案】2；
【解析】由，
又，所以；
令，，又，
所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：；.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
解：（1）在中，因为，
所以；
，，由正弦定理得，
故；
（2），，，
由余弦定理得，即，
解得或（舍），
故
17. 已知与的夹角为，且，.
（1）求；
（2）求；
（3）若（），求t的值.
解：（1）因为向量与的夹角为，且，，
则；
（2）；
（3）因为，所以，
即，
所以，解得
18. 在中，角所对的边分别为．已知．
（1）求的大小；
（2）设，，且，判断的形状．
解：（1）由余弦定理：，
又C为三角形内角，所以．
（2）由知，
由正弦定理，得，
又，从而，
因为，所以，
，则，
所以为等腰三角形．
19. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
解：（1）连接，因为四边形是正方形，且分别为的中点
所以且，又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）由题设，
在中，，，
得，
，
，
设点到平面的距离为h，又，
所以，则，从而.
20. 如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值．
解：（1）如图：取中点为Q，连接，
因为，，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，
所以三点共圆，且圆心为，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面．
（2）如图：过点作于，
由（Ⅰ）知平面，又平面，
所以，又，
，平面，
所以平面，
所以为在平面内的射影，为直线与平面所成角，
设，在直角三角形中，，
解得，
由（Ⅰ）知四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角为直线与直线所成角，
连接，，
在中，，，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为．