人教版新课标B必修4向量数量积的物理背景与定义教学设计

这是一份人教版新课标B必修4向量数量积的物理背景与定义教学设计，共5页。教案主要包含了情景导入，合作探究，精讲点拨，思悟小结，针对训练 巩固提高等内容，欢迎下载使用。
1、知识与技能：
（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；
（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；
（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法
（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；
（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。
教学重点：
平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)
教学难点：
平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。
教学过程：
一、情景导入、引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么 ？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
二、合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
S
F
α
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| csα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cs叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cs
（2）定义说明：
①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
（5）探究题组一 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴·＝｜｜·｜｜cs0°＝3×6×1＝18；
若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴·＝｜｜｜｜cs180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，
∴·＝０；
③当与的夹角是60°时，有
·＝｜｜｜｜cs60°＝3×6×＝9
评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.
探究二：研究数量积的几何意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cs（││cs）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cs
注：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影
︱︱cs 的乘积。
探究三：探究数量积的运算性质
1、数量积的性质
性质：若ａ和ｂ均为非零向量
（1）ａ⊥ｂａ·ｂ＝0 （垂直）
（2）ａ与ｂ同向时，ａ·ｂ =︱ａ︱·︱ｂ︱，
ａ与ｂ 反向 时，ａ·ｂ =-︱ａ︱·︱ｂ︱
特别地：ａ·ａ=︱ａ︱2 = （长度）
（3）csθ=（夹角）
（4）︱ａ·ｂ︱ ≤︱ａ︱·︱ｂ︱（注意等号成立的条件）
2、探究题组二（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4
= -72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式：（1）(+)2=2+2·+2
（2）(+ )·(-)= 2—2
三、思悟小结：
知识线：
（1）平面向量的数量积；
（2）平面向量的数量积的几何意义；
（3）平面向量数量积的重要性质；
（4）平面向量的数量积与向量投影的关系。
思想方法线：
（1）公式或定义法；
（2）数形结合、分类讨论等思想方法。
四、针对训练 巩固提高：
下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
正确的个数为
已知：，则在上的投影为
下列命题中
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
其中真命题的个数有
4、
5、的范围
0°≤