河南省南阳市2024-2025学年高二上学期期中适应性考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省南阳市2024-2025学年高二上学期期中适应性考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得倾斜角为．故选：C.
2. 已知直线，直线．若，则（ ）
A. B. -2C. 2D. 2或
【答案】A
【解析】因为，所以，解得或．
当时，，，，重合；
当时，，，符合题意．
故．
故选：A.
3. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】由的短轴长为4，得，即，则，
若，则，显然矛盾；
若，则．
经验证，当时，椭圆的短轴长为4，
故选：B.
4. 如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设这条抛物线的方程为，
由图可知点的坐标为，所以，得，
故这条抛物线准线方程为．
故选：B.
5. 已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】记圆心到直线的距离为，则．
因为，
所以当直线与垂直，即时，PQ的值最小，
故．
故选：B.
6. 已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设椭圆上的点为，
则点到直线的距离为，其中，
由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
故选：D.
7. 已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设关于的对称点为，
则解得，
即，所以，
故的最小值为．
故选：C.
8. 已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，所以为双曲线的右支，
为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，
所以．所以，
当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线，下列选项正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 双曲线的实轴长为8
C. 双曲线的焦距为
D. 双曲线的离心率为
【答案】BD
【解析】因为，，焦点在轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确；
因为，所以双曲线的焦距为，
离心率为，故C错误，D正确．故选：BD.
10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】当直线的截距为0时，直线的方程为，即.
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
所以，解得或，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为.
故选：ABD.
11. 在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ）
A. 轨迹的方程为
B. 面积的最大值为3
C. 边上的高的最大值为
D. 若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为
【答案】BD
【解析】因为，所以由正弦定理得．
设，则，整理得，
因为顶点不能与，重合，
所以顶点的轨迹方程为，且，故A错误．
当的坐标为时，，
所以B正确．
当与圆相切时，到的距离最大，
如图1，作于点，
因为，所以，
所以边上的高的最大值为，故C错误．
如图2，当时，，
此时直线被圆截得的弦长为；
当时，由得，
不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长，
此时直线方程为，圆心到直线的距离，
所以弦长为．故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线的虚轴长为______，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】由，得，则，，故，
所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为，
则所求圆的标准方程为．
13. 若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
故正实数的取值范围是.
14. 抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为______.
【答案】
【解析】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接，
由题知，焦点，，．
因为直线的斜率为，所以为正三角形，
所以，，所以．
记关于直线的对称点为，则．
当，，三点共线时，，
所以周长的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过，，三点．
（1）求圆的标准方程；
（2）判断圆与圆的位置关系．
解：（1）设圆的方程为，
则，解得，
故圆的方程为，
标准方程为；
（2）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为4，
设两圆圆心之间的距离为，则，
因为，所以圆与圆相交．
16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
解：（1）由题意，知，解得，
故双曲线的方程为．
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，两式相减，得，
整理得．
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即．
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为.
17. 已知圆（为常数）．
（1）当时，求直线被圆截得的弦长．
（2）证明：圆经过两个定点．
（3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．
（1）解：当时，圆，
此时，圆的圆心为，半径．
则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长
为；
（2）证明：由，得，
令，因为为常数
所以得，由
解得或，
所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为；
（3）解：（方法一）设的中点为，
不妨设，则点的坐标为．
因为，所以，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为．
（方法二）不妨设，因为，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为．
18. 已知不在轴下方的动点到点的距离比到轴的距离长，记动点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程．
（2）已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，切线分别为，．直线，相交于点．若，求．
解：（1）由题意可得点到点的距离与到直线的距离相等，
故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为；
（2）设，，
联立方程组，得，，
则，，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，得．
由，解得，所以切线的方程为，
同理可得，直线的方程为，
由，解得，即点，
因为，，，且，所以，
即，
即有，
化简得，
因此或，故有.
19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.
（1）判断曲线为何种圆锥曲线.
（2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？
（3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点.
（i）若，求；
（ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点.
解：（1）设，由，得，
当时，，即，所以曲线为椭圆.
（2）由，得.
若曲线双曲线，则，
所以可化为，
所以，则；
故应满足且曲线为双曲线.
（3）由，得曲线的方程为，
则的右焦点坐标为，所以直线的方程为.
联立得.
设，则
（i）若，则.
（ii）因为点关于轴的对称点为点，所以，
则直线的方程为，
根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上，
令，得
.
当且时，
，
故直线过定点.