2023-2024学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=lnx+csπ3的导数f′(x)=( )
A. 1xB. 1x+sinπ3C. 1x−sinπ3D. x−sinπ3
2.Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a2+a3=6，a7+a9=16，则S9=( )
A. 43B. 44C. 45D. 46
3.函数y=f(x)的图象如图所示，下列关系正确的是( )
A. 0B. 0C. 0D. 04.在一组样本数据(x1,y1)，( x2,y2)，…，( xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi,yi)( i=1,2,…,n)都在直线y=−12x+1上，则这组数据的样本相关系数为( )
A. −1B. 1C. −12D. 12
5.已知数列{an}为等比数列，a2+a4+a6=8,1a2+1a4+1a6=2，则a4=( )
A. 2 2B. ±2 2C. 2D. ±2
6.若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8−2S4=6，则a9+a10+a11+a12的最小值为( )
A. 22B. 24C. 26D. 28
7.刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t.则小明每个月所要还款的钱数为元．( )
A. a(1+t)12B. a(1+t)1212C. at(1+t)1212[(1+t)12−1]D. at(1+t)12(1+t)12−1
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p(p>1)满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则Sn+an+11n的最小值为( )
A. 16B. 22C. 23D. 25
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列{an}是等比数列，且an>0(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A. 数列{an2}是等比数列B. 数列{an+1−an}是等比数列
C. 数列{a2n}是等比数列D. 数列{lgan}是等比数列
10.小明研究函数f(x)的图象与导函数，经查阅资料，发现f(x)具有下面的性质：若函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，且f′(x)在(a,b)上也存在导函数，则称函数y=f(x)在(a,b)上存在二阶导函数，简记为y=f′′(x).若在区间(a,b)上f′′(x)>0，则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”.请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有( )
A. f(x)=2x+1B. f(x)=x3C. f(x)=x2+1D. f(x)=−lgx
11.已知等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为正项等比数列，且a1=b1，a9=b9，则下列结论正确的是( )
A. a3b5
C. 若a1>a9，则a1012.设数列{an}(n∈N*)为正项等比数列，q为公比，Tn为前n项的积，且T15T18，则下列结论正确的是( )
A. 0C. T19>T15D. T16与T17均为Tn的最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列{an}的前5项依次为13,12,35,23,57，则{an}的一个通项公式为an= ______．
14.已知f(x)=12x2+2xf′(2024)−2024lnx，则f′(2024)= ______，
15.垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x(千克)所需的费用y(角)的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y =0.62x+0.68，则下列正确说法的序号是______．
①变量x，y之间呈正相关关系；
②可以预测当x=10时，y的值为6.88；
③表中m的值为3.9；
④样本中心点为(3.5,2.85)．
16.已知数列{an}满足an+2+(−1)nan=2n−1，且前12项和为134，则a1= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知曲线C：y=x3+x−2．
(1)求与直线y=4x−1平行，且与曲线C相切的直线方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和Sn=n2−20n．
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知公差不为0的等差数列{an}，前n项和为Sn，且a1=1，_____．
现有条件：①S5=25；②a8=a2a3；③a5=3a2.请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)
20.(本小题12分)
为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/每天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一)．
表一
(1)经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩.(参考数据：i=15xiyi=22820,i=15yi=435,xi的方差为200)
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表(表二).依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
表二
附：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x−,K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
21.(本小题12分)
设函数f(x)=x2，过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*．
(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式；
(2)设直线ln与函数g(x)=lg12x的图象相交于点Bn，记bn=OAn⋅OBn(其中O为坐标原点)，求数列{bn}的前n项和Sn．
22.(本小题12分)
在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn．
(1)求P1、P2；
(2)若Pn≥2024，求n的最小值；
(3)是否存在实数a、b、c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求出a、b、c满足的条件；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=lnx+csπ3，
其导数f′(x)=(lnx)′+(csπ3)′=1x．
故选：A．
根据题意，由导数的计算公式计算可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：a1+a2+a3=6，a7+a9=16，
则3a2=6，2a8=16，解得a2=2，a8=8，
故S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=45．
故选：C．
结合等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，f′(4)的几何意义为y=f(x)在点B处切线的斜率，
f′(5)的几何意义为y=f(x)在点A处切线的斜率，
f(5)−f(4)=f(5)−f(4)5−4，其几何意义为割线AB的斜率，
则有f′(5)故选：C．
根据题意，分析f′(4)、f′(5)和f(5)−f(4)的几何意义，结合图象分析可得答案．
本题考查函数导数的几何意义，涉及函数的图象分析，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：在一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=−12x+1上，故相关性比较强，
则这组数据的样本相关系数为−1．
故选：A．
直接利用相关系数和离散点的关系求出结果．
本题考查的知识要点：相关系数和离散点的关系，主要考查学生的理解能力，属于基础题和易错题．
5.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}为等比数列，a2+a4+a6=8,1a2+1a4+1a6=2，
∴a2+a6a2a6+1a4=a2+a6+a4a42=8a42=2，
可得a42=4，
∵a4=a2q2，a6=a4q2，且a2+a4+a6=8>0，
故a4>0，可得a4=2．
故选：C．
根据等比数列的性质直接求解即可．
本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知，公比q>0，
S4，S8−S4，S12成等比数列，
则S4(S12−S8)=(S8−S4)2，
故S12−S8=(S8−S4)2S4=(S4+6)2S4=S4+36S4+12，
所以a9+a10+a11+a12=S4+36S4+12≥2 S4⋅36S4+12=24，当且仅当S6=6时，等号成立，
故a9+a10+a11+a12的最小值为24．
故选：B．
根据已知条件，结合等比数列的性质，基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，基本不等式的公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：a1=a(1+t)−x，
第二个月末所欠银行贷款数为：a2=a1(1+t)−x=a(1+t)2−x(1+t)−x，
...，
第12个月末所欠银行贷款为：
a12=a(1+t)12−x(1+t)11−x(1+t)10−...−x(1+t)−x=a(1+t)12−x[(1+t)11+(1+t)10+...+(1+t)+1]=a(1+t)12−x⋅1−(1+t)121−(1+t)=a(1+t)12+x[1−(1+t)12]t，
由于分12次还清所有的欠款，所以a(1+t)12+x[1−(1+t)12]t=0，解得x=at(1+t)12(1+t)12−1．
故选：D．
根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12个月末所欠银行贷款，其中第12月末还清所有的欠款，由此列方程求出结果．
本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为二二数之剩一的数为2m+1的形式，三三数之剩一的数为3k+1的形式，其中m∈N，n∈N，
则数列{an}的项即为以上两类数的公共项，即为6n+1的形式，n∈N，
即an=6n+1，
所以Sn=(7+6n+1)n2=3n2+4n，
所以Sn+an+11n=3n2+10n+12n=3n+12n+10≥2 3n⋅12n+10=22，
当且仅当3n=12n，即n=2时取等号．
故选：B．
由已知先求出an，然后结合等差数列的求和公式及通项公式及基本不等式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题
9.【答案】AC
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
因为an>0(n∈N*)，所以q>0，
对于A，an+12an2=(an+1an)2=q2，所以数列{an2}是等比数列，故A正确；
对于B，当q=1时，等比数列{an}为正项常数列，此时an+1−an=0，所以数列{an+1−an}不是等比数列，故B错误；
对于C，a2(n+1)a2n=a1q2n+1a1q2n−1=q2，所以数列{a2n}是等比数列，故C正确；
对于D，lgan+1−lgan=lgan+1an=lgq，所以数列{lgan}是等差数列，故D错误．
故选：AC．
根据等比数列的性质，以及通项公式判断．
本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，f(x)=2x+1，其导数f′(x)=2，则有f″(x)=0，不符合“凹函数”的定义，故A不符合题意；
对于B，f(x)=x3，定义域为R，其导数f′(x)=3x2，则f″(x)=6x，
在定义域R上f″(x)>0不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B不符合题意；
对于C，f(x)=x2+1，定义域为R，其导数f′(x)=2x，
则有f″(x)=2>0在R上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C符合题意；
对于D，f(x)=−lgx，定义域为(0,+∞)，其导数f′(x)=−1xln10，
则有f″(x)=1x2ln10>0在(0,+∞)上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D符合题意．
故选：CD．
由“凹函数”的定义逐项判断即可得解．
本题主要考查导数的运算，函数的新定义，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为正项等比数列，设公比为q，q>0，q≠1，
设a1=b1=t，t>0，由a9=b9，可得t+8d=tq8，
即有d=t8(q8−1)，
由a3−b3=t+2d−tq2=t−tq2+t4(q8−1)=t4(3+q8−4q2)，
设f(q)=3+q8−4q2，可得f′(q)=8q7−8q，
当q>1时，f′(q)>0，f(q)递增；当0f(1)=0，
又t>0，可得a3−b3>0，即a3>b3，故A错误；
由a5−b5=t+4d−tq4=t−tq4+t2(q8−1)=t2(1+q8−2q4)=t2(q4−1)2>0，可得a5>b5，故B正确；
由a1>a9，可得t>tq8，解得0a10−b10=t+9d−tq9=t−tq9+9t8(q8−1)=t8(−1+9q8−8q9)，
设g(q)=−1+9q8−8q9，可得g′(q)=72q7−72q8>0，
当0又t>0，可得a10−b10<0，即a10由a11，
a10−b10=t+9d−tq9=t−tq9+9t8(q8−1)=t8(−1+9q8−8q9)，
设g(q)=−1+9q8−8q9，可得g′(q)=72q7−72q8<0，
当q>1时，g(q)递减，可得g(q)又t>0，可得a10−b10<0，即a10故选：BCD．
设公比为q，q>0，q≠1，a1=b1=t，t>0，推得d=t8(q8−1)，由作差法，结合函数的导数，求得单调性和最值，对各个选项分析，可得结论．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及导数的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，
所以q>0，Tn>0，
由T16=T17可得a17=1，故B正确；
由T151，
由T17>T18=a18×T17，可得a18<1，
因为{an}为正项等比数列，所以a18=q2a16⇒q2=a18a16<1，则0因为T19=T17⋅a18⋅a19=T17⋅a17⋅a17⋅(q⋅q2)=q3T17，T15=T17⋅1a17⋅1a16=T17⋅1a17⋅1a17⋅q=qT17，
因为00，
所以q3因为a17=1，0所以当n≤16时，an>1，Tn单调递增，
当n≥17时，an≤1，Tn单调递减，
故T16=T17为Tn的最大值，故D正确．
故选：ABD．
由T16=T17可得a17=1即可判断B；由T17>T18到a18<1，结合等比数列公比q的定义即可判断A；已知0本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于中档题．
13.【答案】nn+2
【解析】解：根据题意，数列{an}的前5项依次为13,12,35,23,57，即13，24，35，46，57；
则{an}的一个通项公式为an=nn+2．
故答案为：nn+2．
根据题意，分析数列前5项的规律，综合可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】−2023
【解析】解：因为f(x)=12x2+2xf′(2024)−2024lnx，
所以f′(x)=x+2f′(2024)−2024x，
所以f′(2024)=2024+2f′(2024)−20242024，则f′(2024)=−2023．
故答案为：−2023．
注意f′(2024)是个常数，对f(x)进行求导，再代入x=2024即可得解．
本题考查了导数的运算，是基础题．
15.【答案】①②④
【解析】解：对于①中，由y关于x的线性回归方程为ŷ=0.62x+0.68，可得0.62>0，
所以变量x，y之间呈正相关关系，所以①正确；
对于②中，由y关于x的线性回归方程为y =0.62x+0.68，
当x=10时，可得ŷ=0.62×10+0.68=6.88，所以②正确；
对于③中，由表格中的数据，可得x−=14(2+3+4+5)=72，y−=14(2+2.3+3.4+m)=7.7+m4，
可得7.7+m4=0.62×72+0.68，解得m=3.7，所以③错误；
对于④中，由x−=3.5，y−=7.7+3.74=2.85，即样本中心点为(3.5,2.85)，所以④正确．
故答案为：①②④．
由0.62>0，可得判定①正确；令x=10时，求得ŷ=6.88，可判定②正确；根据回归直线方程的含义与性质，可判定③错误，④正确．
本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．
16.【答案】1
【解析】解：因为an+2+(−1)nan=2n−1，
当n为奇数时，an+2−an=2n−1，
即a3−a1=1，a5−a3=5，
a7−a5=9，a9−a7=13，a11−a9=17，
可得a1+a3+a5+a7+a9+a11=6a1+(1+6+15+28+45)=6a1+95；
当n为偶数时，an+2+an=2n−1，
即a2+a4=3，a6+a8=11，a10+a12=19，
可得a2+a4+a6+a8+a10+a12=33，
则前12项和为6a1+95+33=134，解得a1=1．
故答案为：1．
由数列的递推式，讨论n为奇数和偶数时，结合等差数列的通项公式，解方程可得所求值．
本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由y=x3+x−2，可得y′=3x2+1，
令3x2+1=4，
解得x=±1，
当x=1时，切点坐标为(1,0)，
则切线方程为y=4(x−1)，即4x−y−4=0；
当x=−1时，切点坐标为(−1,−4)，
则切线方程为y+4=4(x+1)，即4x−y=0；
综上，所求直线方程为4x−y−4=0或4x−y=0；
(2)由(1)结合导数的几何意义可得，tanα=3x2+1≥1，
又α∈[0,π)，
则α∈[π4,π2)．
【解析】(1)根据导数的几何意义结合两直线平行的条件，可得切点坐标，进而得到直线方程；
(2)由tanα≥1，即可得出答案．
本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：因为Sn=n2−20n，
所以n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−20n−(n−1)2+20(n−1)=2n−21，
当n=1时，a1=S1=−19适合上式，
故an=2n−21，
所以n≥2时，an−an−1=2，
故数列{an}是以−19为首项，以2为公差的等差数列；
(2)解：当n≤10时，an<0，
则Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=−(a1+a2+…+an)=−Sn=20n−n2，
当n≥11时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=−(a1+a2+…+a10)+a11+…+an
=−S10+Sn−S10
=Sn−2S10=n2−20n−2×(−100)=n2−20n+200，
故Tn=20n−n2,0【解析】(1)结合和与项的递推关系先求出an，然后结合等差数列的定义即可证明；
(2)结合数列项的正负特点对n的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了数列的递推关系的应用，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，
选条件①：由S5=25可得，S5=5a1+5×42d=25，
又a1=1，解得d=2，
所以an=2n−1；
选条件②：由a8=a2a3可得，a1+7d=(a1+d)(a1+2d)，
又a1=1，解得d=2(d=0舍去)，
所以an=2n−1；
选条件③：由a5=3a2可得，a1+4d=3(a1+d)，
又a1=1，解得d=2，
所以an=2n−1；
(2)bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=b1+b2+⋯+bn=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1．
【解析】(1)结合所选条件，利用等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
(2)先求出bn，然后利用裂项求和即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)x−=30+40+50+60+705=50，
y−=4355=87，又xi(i=1,2,3,…,5)的方差为15i=15(xi−x−)2=200，
∴b =i=15(xi−x−)⋅(yi−y−)i=15(xi−x−)2=i=15xi⋅yi−5x−⋅y−5×200=22820−5×50×871000=1.07，
a =y−−b x−=87−1.07×50=33.5，
故y =1.07x+33.5，
当x=100时，y=140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140；
(2)零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，
根据数据，计算得到：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(25×130−35×30)2165×55×60×160=1109≈12.22，
∵12.22>10.828，
∴依据α=0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【解析】(1)先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；
(2)根据题意计算出χ2，进而由α=0.001的独立性检验得出答案．
本题考查线性回归方程与独立性检验，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】(I)证明：∵函数f(x)=x2，∴f′(x)=2x，
∴以点An−1(an−1,an−12)为切点的切线方程为y−an−12=2an−1(x−an−1).
当y=0时，得x=12an−1，即an=12an−1．
又∵a1=1，∴数列{an}以1为首项，12为公比的等比数列，
∴通项公式为an=(12)n−1
(II)解：根据题意，得Bn((12)n−1,n−1)，∴bn=OAn⋅OBn=(14)n−1+(14)n−1(n−1)=n(14)n−1，
∴Sn=1×(14)0+2×(14)1+…+n×(14)n−1，
∴14Sn=1×(14)1+2×(14)2+…+n×(14)n，
相减，得34Sn=1×(14)0+1×(14)1+…+(14)n−1−n×(14)n=1−(14)n1−14−n×(14)n
∴Sn=169−3n+49×4n−1．
【解析】(I)求导函数，可得以点An−1(an−1,an−12)为切点的切线方程，从而可得数列{an}以1为首项，12为公比的等比数列，
即可求出通项公式an；
(II)利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn．
本题考查导数知识的运用，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1=3+2=5；
经第2次拓展后的项数P2=5+4=9；
(2)数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第n次拓展后的项数为Pn，
则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn−1，
所以Pn+1=Pn+(Pn−1)=2Pn−1，
所以Pn+1−1=2Pn−2=2(Pn−1)，
由(1)得P1−1=4，所以{Pn−1}是首项为4，公比为2的等比数列，
则Pn−1=4⋅2n−1=2n+1，即Pn=2n+1+1，
由Pn≥2024，可得2n+1≥2023，解得n≥10，
所以n的最小值为10；
(3)设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c，
所以Sn=a+a1+a2+a3+⋯+am+c，
因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以Sn+1=a+(a+a1)+a1+(a1+a2)+a2+(a2+a3)+⋯+am+(am+c)+c，
即Sn+1=2a+3a1+3a2+⋯+3am+2c，
所以Sn+1=3Sn−(a+c)，即有Sn+1−a+c2=3(Sn−a+c2)，
得Sn−a+c2=(S1−a+c2)⋅3n−1，
由S1=2a+3b+2c，则S1−a+c2=3b+3(a+c)2，Sn=(b+a+c2)⋅3n+a+c2，
若使{Sn}为等比数列，则a+c2=0b+a+c2≠0，或b+a+c2=0a+c2≠0，
所以存在，a、b、c满足的条件为a+c=0，且b≠0，或2b+a+c=0，且b≠0．
【解析】(1)根据题中“和扩充”的定义进行求解即可；
(2)根据等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
(3)根据等比数列的定义和性质进行求解即可．
本题主要考查数列的新定义问题，利用等比数列的定义和性质是解题的关键，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．x
2
3
4
5
y
2
2.3
3.4
m
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末自主学习
35
130
165
末参与周末自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828