河南省南阳地区2023-2024学年高二下学期期末适应性考试数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳地区2023-2024学年高二下学期期末适应性考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，35B等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一、二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若数列满足，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】因为数列满足，，
所以，
，
所以.
故选：A
2. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）
A. 米/秒B. 米/秒
C. 米/秒D. 米/秒
【答案】D
【解析】，当时，有，
故该物体在秒时的瞬时速度为米/秒.
故选：D.
3. 的展开式中的系数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对有，
令，得，
则有，即的系数为.
故选：B.
4. 若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，得，
因为是正项无穷的等差数列，
所以，所以，得，
即的公差的取值范围是.
故选：D
5. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A. 5B. 6C. 7D.
【答案】A
【解析】如图所示：
设切点为Q，则|CQ|=1,|PQ|=26，
则PC=CQ|2+PQ|2=12+(26)2=5，
设Px,y，则由两点间距离公式得到(x-4)2+y2=(x-4)2+8x=x2+16=5，
解得，因为y2=8x≥0，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为3--2=5.
故选：A.
6. 已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以在上单调递减，在上单调递增．
令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时，
所以当时，直线与的图象有两个不同的交点．
故选：A.
7. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（ ）
A. 0.35B. 0.525C. 0.575D. 0.595
【答案】C
【解析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
设，依题可知，，
则，
即，
设，解得，则，
又，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
即，．
则第次投篮的人是甲的概率为.
当时，
故选：C.
8. 设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题：
①数列是可分数列；
②数列是可分数列；
③数列是可分数列.
其中真命题的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确；
对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故②正确；对于③，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故③正确；所以真命题有个.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛.统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ）
A. 该知识竞赛的及格率为
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】对A：由题意可得，则，
即，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：由题意可得，则，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：AC.
10. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列可能为常数列
B. 数列可能为等比数列
C. 若，则
D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】A.当时，，得或（舍），
此时为常数列，故A正确；
B.，，，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，
此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
C.若，，所以，故C错误；
D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列，
，数列单调递减，，
当时，，当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若有极小值，则
B. 若在上单调递增，则
C. 对任意的存在唯一零点
D. 若恒成立，则
【答案】BCD
【解析】对于A，，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，故A错误．
对于B，若在上单调递增，则在上恒成立，
所以，即．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，故B正确．
对于C，令，则．
令，则，所以在上单调递增．
因为，且当时，，当时，，
所以与曲线只有一个交点，即存在唯一零点，故C正确．
对于D，由，得，
即．令，则．
，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以在上单调递增．
因为，所以，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以，故D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知曲线在直线的上方，则当曲线上的动点到直线的距离最短时，点的坐标为________________
【答案】
【解析】曲线与直线平行的切线切点到直线距离最短，令，则，令，
即，解得或（舍），，
即切点坐标为.
故答案为：.
13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________.
【答案】；
【解析】第一空，将代入中，，
即，，则椭圆方程为，
离心率为：.
第二空，如图所示，

易得，
则，，，
因为(为三角形周长，为内切圆半径).
又，代入得，解得.
故答案为：；.
14. 设的个位数为，则数列的前100项和为________________，从数列的前100项中任选2项，则这2项中至少有1项是质数的概率为________________.
【答案】500；
【解析】，……，可以发现为周期为4的数列，
则数列的前100项和；
的前100项中有25个7，25个9，25个3，25个1，
由于1既不是质数，也不是合数，3,7为质数，9为合数，
任选2项，共种情况，
其中这2项中至少有1项是质数的情况为，
故这2项中至少有1项是质数的概率为
故答案为：500，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在空间直角坐标系中，已知，，，，.
（1）证明：为直角三角形.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）由题可得，，
则，
故，
故为直角三角形；
（2），，
设平面的法向量为，
则有，
令，则有，，
即，
则有，
则直线与平面所成角正弦值为.
16. 某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下：
若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”．
（1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率；
（2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望．
解：（1）根据题意计算得，7个品牌中“有效促销”的品牌是1，2，3号品牌，共有3个，“过度促销”的品牌是6，7号品牌，共有2个．
设“取出的4个品牌中‘有效促销’ 的个数比‘过度促销’的个数多”为事件，
则．
（2）由（1）知，7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，所以的可能取值是0，1，2，3，
因为，，
，，
所以的分布列为：
所以．
17. 已知数列an满足且.
（1）求an的通项公式.
（2）设an的前项和为，x表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
解：（1）由，则，即，
则数列是以为公差的等差数列，又，
故，即；
（2）①由，则，
，
则
，
故；
②令，则，
则，
故数列bn为单调递减数列，又，
故当时，，故，
即当时，恒成立，即为定值.
18. 已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
解：（1）设双曲线焦点为，
一条渐近线方程为，
所以该焦点到渐近线的距离为，
又双曲线实轴比虚轴长2，故，即，
故双曲线的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，
则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，
将代入，得，将代入，得，
则，；
当直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因为动直线与双曲线恰有1个公共点，
所以，得，
设动直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则，
因为原点到直线的距离，
所以，
又因为，所以，即，
故的面积为定值，且定值为.
19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”．
（1）若是“反转函数”，求取值范围．
（2）①证明：为“反转函数”．
②设，证明：．
解：（1）当时，由，得，
所以，所，即，
所以，得，
因为在上递减，所以，
所以，
当时，由，得，
所以，所以，得，
所以，
因为在上递增，所以，
所以，
综上，，即的取值范围为；
（2）①令，则
，
所以在上递减，
所以当时，，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，
所以为“反转函数”；
②由①知，当时，，即，
所以，
所以对任意时，，
所以，
整理得.品牌代号
1
2
3
4
5
6
7
促销活动经费
1
2
4
6
10
13
20
销售额
12
20
44
40
56
60
82
0
1
2
3