2022-2023学年河南省南阳市高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省南阳市高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角

【详解】设直线的倾斜角为，由直线得其斜率为，

所以，

，，

故选：A.

2．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线方程，直接写出准线方程即可.

【详解】因为，其为开口向下的抛物线，故其准线方程为.

故选：C.

3．已知ab＜0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0通过（    ）象限

A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四

【答案】C

【解析】将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及轴上的截距的正负判断直线经过的象限.

【详解】等价于，

根据题意，故直线必经过第一、三象限；

又因为，故直线必经过第三、四象限，

故直线必经过第一、三、四象限.

故选：C.

【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.

4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】因为抛物线的焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为,

由点到直线的距离公式可得.

故选：B

5．如图，已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的一点，轴，（O为原点），则该椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题中条件，先得到，求出，根据得到，化简整理，即可求出结果.

【详解】因为是椭圆的左焦点，所以，，，

因为是椭圆上的一点，轴，

将代入得，所以；

又，所以，，即，整理得，

所以该椭圆的离心率为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：

求椭圆的离心率，解题关键是找到关于a,b,c的等量关系．本题中根据轴，求出点坐标，根据，得出等式，化简整理，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力.

6．设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ）

A．1 B．4 C．2 D．

【答案】B

【分析】圆心坐标代入直线方程得，然后用“1”的代换得定值后由基本不等式得最小值．

【详解】圆心为（1，1），所以

于是

当且仅当，即时取等号.

故选：B．

7．已知圆，，动点为圆上任意一点，则的垂直平分线与的交点的轨迹方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】的垂直平分线与的交点，所以，则

，

进而可以利用椭圆的第一定义和焦距进行求解

【详解】的垂直平分线与的交点，所以，则

，

故的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，，，

，点的轨迹方程是

故选：C

【点睛】本题考查椭圆的第一定义的运用，属于基础题

8．过点的直线交椭圆：于两点，若，则直线的斜率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得，M是线段AB 的中点，圆锥曲线中的中点弦问题常用点差法.

【详解】设，

∵    ∴M是线段AB 的中点

由中点坐标公式可得，      ①

又在椭圆上，

两式作差得，

将①式代入，可得：.

所以，直线的斜率为.

故选：B.

9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（    ）

A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0

C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0

【答案】B

【分析】等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出中点和的斜率后可得．

【详解】因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，

又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，

故AB的中垂线方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0.

故选：B．

10．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与拋物线交于，两点，又直线与圆交于两点.若，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设，方程组消元后求得，由点在直线上求得（也可消去，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得．

【详解】抛物线的焦点为，直线方程为，

由得，设，则，

又，，∴，

∴，

圆，圆心为，半径为，

∴，

∵，∴，解得，∵，∴．

故选：C．

11．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．

【详解】，不妨令，，，

，，

又由双曲线的定义得：，，

，

，．

在中，，

又，，

双曲线的离心率．

故选;C

12．已知，直线，P为上的动点.过点作的切线，切点分别为A，B，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．

【详解】圆的方程为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，

当直线时，， ，此时最小．

∴即 ，由解得， ．

所以以为直径的圆的方程为，

即 ，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：A.

二、填空题

13．双曲线的焦点到其渐近线的距离是__________.

【答案】3

【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.

【详解】由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，

则焦点到其渐近线的距离是.

故答案为：3.

14．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽     米.

【答案】2米

【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，

将A（2，-2）代入，

得m=-2，

∴，代入B得，

故水面宽为米，故答案为米．

【解析】抛物线的应用

15．点到直线距离的最大值为___________.

【答案】

【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.

【详解】解：直线恒过点，

则点到直线的距离的最大值为点到点的距离，

∴点到直线距离的最大值为：

.

故答案为：.

16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________.

【答案】

【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.

【详解】设点A关于直线的对称点，

的中点为， ,

故解得，

由知军营所在区域中心为，

要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离为，

“将军饮马”的最短总路程为，

故答案为：

三、解答题

17．已知是的三个顶点，分别是边的中点.

(1)求直线的方程；

(2)求边上的高所在直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据中点坐标公式求出两点坐标，已知两点求出直线方程.

（2）求出直线BC的斜率，根据两条直线的位置关系得出垂线的斜率，利用点斜式解出直线方程.

【详解】（1）由题知D（，），F（，），

故直线DF的方程为：，即

（2）由已知

所以BC边上的高所在直线的斜率为－3

BC边上的高所在直线的方程为：，即

18．已知曲线.

(1)若曲线是椭圆，求的取值范围；

(2)若曲线是双曲线，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将二元二次方程化为椭圆的标准方程形式，得出关于的关系式，即可解得.

（2）将二元二次方程化为双曲线的标准方程形式，分类讨论焦点位置，得出关于的关系式，即可解得.

【详解】（1）曲线C化为：

∵曲线C是椭圆，故

∴

（2）若焦点在x轴上，曲线C化为：

则，

∴

若焦点在y轴上，曲线C化为：

则，

∴

综上可得，

19．已知点在圆的外部.

(1)求实数的取值范围；

(2)若，求过点的圆的切线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）化为圆的标准方程，列出关于m的不等式组.

（2）过圆外一点可以作圆的两条切线，设切线时，注意分类讨论切线斜率是否存在，根据直线与圆相切，可求得切线的斜率，进而求出方程.

【详解】（1）圆C化为标准方程为：

由题意，得

∴

（2）时，圆C：

当切线的斜率不存在时方程为：，合题意

当切线的斜率存在时，设切线方程为：，即

由得，

此时切线方程为

综上，切线的方程为或.

20．已知点到点的距离比点到直线的距离小1.

(1)求点的轨迹方程；

(2)求线段中点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简；

解法2：定义法求抛物线的方程.

（2）轨迹法求点的轨迹方程.

【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知

当时，可化为，

整理得，（舍去）

当x< 3时，可化为

整理得，

故点M的轨迹方程为

解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等，

所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线，

点M的轨迹方程为；

（2）设Q（x，y），

则，  ∴

又，故

即为所求.

21．已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切.

(1)求的值；

(2)若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，定点为，理由见解析.

【分析】（1）根据抛物线定义可知准线方程，即可直接求得结果；

（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据即可求解.

【详解】（1）根据抛物线的定义，显然是抛物线Ω的准线，则，解得.

（2）根据（1）中所求，点的坐标为，假设存在符合题意，则，

设直线l方程为：，由可得，

设，则，

故，即，又，

故，故，所以，

综上所述：在x轴上存在定点，使恒成立.

22．已知动点到两个定点的距离之和为4，记点的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)若点，过点的直线与交于两点，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据椭圆的定义求椭圆的标准方程.

（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得出关于x的方程，根据韦达定理，表示出的面积公式，利用单调性，求出面积最大值.

【详解】（1）由题知P的轨迹为E是以，－），（0，）为焦点，长轴长为4的椭圆

即，∴

E的方程为.

（2）因为直线l的斜率存在，设l：，代入

整理得，设

则恒成立

∴，

直线的方程为

点Q到直线的距离

所以，

设

在上单调递减

故当，即时的面积取最大值.