2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷07【北师大版】

这是一份2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷07【北师大版】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，本题满分12分，本题满分14分等内容，欢迎下载使用。
1. 的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列实数中：π，﹣ ，0， ，最小的数是（ ）
A. ﹣B. 0C. D. π
3. 对角线长为2cm的正方形的边长是（ ）
A. 1B. 4C. 2D.
4. 在⊿中，若，则⊿是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形
5. 如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A. 1B. 1C. 1D.
6. 把根号外因式移入根号内的结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A. 3，5，3B. 6，8，10C. 7，20，25D. 6，12，13
8. 一个三角形的三边长分别为3，4和5，那么它长边上的高线长为（ ）
A. 5B. 2.5C. 2.4D. 2
9. 有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根； ④﹣是5的平方根．其中正确的有（ ）
A. ①③B. ②④C. ②③D. ④
10. 在中，，，，、在上且，，则的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 当x_____时，式子 有意义．
12. 比较大小：______．
13. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为_____________．
14. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C和A在数轴上的位置表示的实数为﹣1和1．那么当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是_____．
三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分
15. 计算： ．
16. 已知 和|8b﹣3|互为相反数，求（ab）﹣2﹣28的平方根．
四、解答题（共2小题，满分16分）
17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：
（1）从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB=；
（2）画出一个以（1）中AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．
18. 如图，小亮发现升旗的绳子放下时，末端刚好接触到地面处，但将绳子末端拉到距离旗杆米的处，发现此时绳子末端距离地面米．求旗杆的高度．
五、本大题共2小题，每小题10分，满分20分
19. 如图：四边形ABCD中 AB=BC=, , DA=1, 且AB⊥CB于B.
试求:（1）∠BAD的度数;（2）四边形ABCD的面积.
20. 已知在中，，，是上一点，且，求的长．
六、本题满分12分
21. 探究活动有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s
（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）
（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）
七、本题满分12分
22. 观察下列各式：①、，②、，③、，…，
（1）请写出第6个式子：_____，
（2）用含n（n≥1）式子写出你猜想的规律：_____．并验证你的猜想．
八、本题满分14分
23. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷07【北师大版】
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在题后的括号内）
1. 的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
【详解】解：∵=2，2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选B．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．
2. 在下列实数中：π，﹣ ，0， ，最小的数是（ ）
A. ﹣B. 0C. D. π
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数>0>负数，几个负数比较大小，绝对值越大的负数越小即可得出结论.
【详解】解：∵，
∴是最小的数.
故答案为A.
【点睛】本题考查了实数大小比较.满足（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；（2）两个负数绝对值大的反而小.
3. 对角线长为2cm的正方形的边长是（ ）
A. 1B. 4C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】正方形的对角线是等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理可求出直角边长，即可得出结论.
【详解】解:设正方形的边长为，
则，
解得：.
故答案为D.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用.正方形的对角线相等且垂直平分，将正方形边角问题转换为直角三角形的边角问题是解题关键.
4. 在⊿中，若，则⊿是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【详解】∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选D．
5. 如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A. 1B. 1C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长度，进而利用实数与数轴的关系解答即可求解．
【详解】解：由题意得，．
故选C．
【点睛】本题主要考查勾股定理、数轴上的点表示的数，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
6. 把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据被开放数不为负数可得出，首先将的负号移出，再将移入根号内进行计算即可．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的有意义的条件：被开方数不为负数，是解题的关键．
7. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A. 3，5，3B. 6，8，10C. 7，20，25D. 6，12，13
【答案】B
【解析】
【分析】根据三边长判断三角形是否为直角三角形，只需满足勾股定理逆定理即可.
【详解】A、，故A选项错误；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误；
故答案为B.
【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用.若三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形为直角三角形.
8. 一个三角形的三边长分别为3，4和5，那么它长边上的高线长为（ ）
A. 5B. 2.5C. 2.4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据面积法可得，两直角边的乘积=斜边与斜边上的高的乘积，即可得到高线的长.
【详解】解：设斜边上的高为h，根据题意可得：
解得：,
故答案为C.
【点睛】本题考查直角三角形面积问题.利用直角三角形的面积的不同解法，将斜边上的高与三边建立等量关系是解题的关键.
9. 有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根； ④﹣是5的平方根．其中正确的有（ ）
A. ①③B. ②④C. ②③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】（1）实数与数轴上的点一一对应；（2）π不带根号，是无理数；（3）负数有立方根；（4）根据平方根的概念可得.
【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；
②不带根号的数不一定是有理数，比如π，故②错误；
③负数有立方根，故③错误；
④所以是5的一个平方根，故④正确；
故答案为D.
【点睛】本题考查实数的性质.熟练实数的性质与运算是解题的关键.
10. 在中，，，，、在上且，，则的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，根据AM+BN-AB表示出MN的长，由AM=AC，NB=BC，等量代换后，将各自的值代入即可求出MN的长．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，
∴根据勾股定理得：，
又AM=AC，BN=BC，
则MN=AM+BN-AB=AC+BC-AB=40+9-41=8．
故选C
【点睛】此题考查了勾股定理，利用了等量代换的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 当x_____时，式子 有意义．
【答案】＞4．
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得：，求解不等式即可得出结论.
【详解】解：根据题意得：，且，
即：，
求解得：，
故答案为＞4．
【点睛】本题考查二次根式有意义和分式有意义.二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，分式有意义的前提是分母不为0.
12. 比较大小：______．
【答案】
【解析】
【分析】先估算出，进而可得，，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算和比较实数的大小，正确估算出是关键．
13. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为_____________．
【答案】25
【解析】
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是13，
∴=13，
∴，
∵直角三角形的面积是，
∴直角三角形的面积是ab=3，
∴ab=6，
∴=13+2×6=13+12=25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形面积是解题的关键．
14. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C和A在数轴上的位置表示的实数为﹣1和1．那么当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是_____．
【答案】3+2 ．
【解析】
【分析】首先利用数轴即可得到等腰直角三角形的直角边AC、CB的长度，根据勾股定理可求AB的长，则顶点C下一次落在数轴上,所在的位置表示的实数=AC+AB+BC-1，由此可得出结论.
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=CB=2，
∴,
当顶点C下一次落在数轴上时，所在位置表示的实数是：，
故答案为.
【点睛】此题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，直观不易遗漏，体现了数形结合的优点.
三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分
15. 计算： ．
【答案】3.
【解析】
【分析】分别进行开平方、开立方运算，然后合并运算即可得出结论.
【详解】解：原式=3﹣2+2=3．
故答案为3.
【点睛】本题考查了实数的运算.解答本题的关键是掌握开平方运算、开立方运算.注意，是易错点.
16. 已知 和|8b﹣3|互为相反数，求（ab）﹣2﹣28的平方根．
【答案】±6．
【解析】
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，代入代数式进行计算即可得出结论.
【详解】∵和互为相反数，
∴，
解得：，
∴
=
=
=
∴的平方根为：，
故答案为.
【点睛】本题考查了相反数和非负数的性质.几个非负数的和为0时，这几个非负数分别为0；互为相反数的两个数，他们的和为0.
四、解答题（共2小题，满分16分）
17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：
（1）从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB=；
（2）画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
详解】（1）根据20=22+42，则B点与A点相差横2竖4即可，可画出AB线段如图；
（2）AB长为 20，根据题意，AB为等腰直角三角形的斜边，则腰长为×
18. 如图，小亮发现升旗的绳子放下时，末端刚好接触到地面处，但将绳子末端拉到距离旗杆米的处，发现此时绳子末端距离地面米．求旗杆的高度．
【答案】米
【解析】
【分析】如图：作于点，由题意得，设，则，，然后运用勾股定理求得x即可．
【详解】解：作于点，由题意得
设，则，．
在中，
解得．
答：旗杆的高度是米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，做出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
五、本大题共2小题，每小题10分，满分20分
19. 如图：四边形ABCD中, AB=BC=, , DA=1, 且AB⊥CB于B.
试求:（1）∠BAD的度数;（2）四边形ABCD的面积.
【答案】（1）135°（2）2
【解析】
【分析】（1）连接AC，根据Rt△ABC求出AC的长，再利用勾股定理证明△ACD是直角三角形，故可求出∠BAD的度数
（2）由S四边形ABCD=S△ABC+ S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积.
【详解】（1）连接AC，∵AB=BC=,
∴AC=
∴∠BAC=45°，
∵AD2+AC2=1+4=5=CD2，
∴△ACD为直角三角形.
∴∠BAD=90°+45°=135°，
（2）S四边形ABCD=S△ABC+ S△ADC
=
=1+1=2
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理.
20. 已知在中，，，是上一点，且，求的长．
【答案】7
【解析】
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x．在Rt△ADE和Rt△ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求出x的值即可．
【详解】如图,过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=20，BC=32，
∴BE=CE=16，
在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE=，
设BD=x，则DE=16﹣x，DC=32﹣x，
又DA⊥CA，
在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：，
代入为：，
整理得：
解得：．
即BD=7．

【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理，列出等式．
六、本题满分12分
21. 探究活动有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s
（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）
（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）
【答案】（1）s；（2）75秒．
【解析】
【分析】（1）由题意可知，蚂蚁爬过的最短距离为食品盒侧面展开后的线段AB的长度，算出时间即可；（2）要求圆柱体中两点之间的最短路径，将食品盒侧面展开后，作出点B关于边EF的对称点D，利用勾股定理求出AD的长，算出时间即可.
【详解】（1）如图，,，则蚂蚁走过的最短路径为：，
所用时间为：s．
（2）作B关于EF的对称点D，连接AD，蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AD，
由图可知，,
，
15÷2=7.5s
从A到C所用时间为7.5s．
【点睛】本题考查了立体图形的最短路径问题.（1）解题关键：立体图形平面化，根据两点间直线距离最短，用勾股定理求解；（2）立体图形平面化，通过轴对称转换成两点间距离问题是解题关键.
七、本题满分12分
22. 观察下列各式：①、，②、，③、，…，
（1）请写出第6个式子：_____，
（2）用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：_____．并验证你的猜想．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】（1）观察每一个式子中数字变化，根据变化规律可知第6个式子为；（2）第n个式子为.
小问1详解】
解：∵第①式子；
第②式子；
第③式子；
∴第⑥式子，
【小问2详解】
第n式子,
当n=1时，，所以假设成立.
【点睛】本题考查的是算术平方根，属于寻找规律性题目，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键.
八、本题满分14分
23. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．
【解析】
【分析】根据题意进行探索即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
（2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．
故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
（3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.