2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】

这是一份2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 以下不能构成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 当a满足（ ）时，二次根式有意义．
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 三角形具有稳定性B. 周长相等的两个三角形全等
C. 全等三角形的对应边相等D. 等腰三角形的两个底角相等
6. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ）
A. 34B. 35C. 36D. 40
7. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象过点B. 图象与轴的交点是
C. 随的增大而增大D. 函数图象不经过第三象限
8. 一次函数y＝kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
9. 81的算术平方根是 _____．
10. 已知，则为________．
11. 小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了本作业本，剩余费用为元，则与的函数关系式为_________．
12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
13. 如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，M、N分别是、的中点，点P是y轴上一个动点，当的值最小时，点P的坐标为________．
三、解答题
14. 计算：
（1）；
（2）；
15. 解方程：
（1）；
（2）．
16. 4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生月平均阅读册数为________本；
（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是________；
（3）在平均数、中位数这两个统计量中，________更能反映被调查学生月阅读的一般水平；
（4）若向阳中学共有学生2000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？
17 解答：
（1）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根．
（2）已知实数，，在数轴上对应点如图所示，化简．
18. 在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）求证：；
（2）求原来路线的长．
19. 如图，已知四边形是正方形（四条边相等、四个角都是直角），E是正方形内一点，，以为斜边作直角三角形，又以为直角边作等腰直角三角形，且，连接．
（1）求证：；
（2）与存在怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若，，求点E到的距离．
四、填空题
20. 如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是___________，点表示的数是___________．
21. 一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）____．
22. 如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．
23. 满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有________组这样的“完美勾股数”．
24. 如图，在矩形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．在上存在一动点P．连接、，则周长的最小值是________．

五、解答
25. 已知：，．
（1）化简求值：求的值；
（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
26. 定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师提示完成第（2）小题的证明过程；
（3）在（2）问题中，若∠ACM=15°，AM=1，CM=，求BM的长．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．）
27. 长方形中，点E是中点，沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点F．

（1）如果点G在长方形的内部，如图①所示．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求的长度．
（2）如果点G在长方形的外部，如图②所示，（），请用含k的代数式表示的值．
2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】
一、选择题
1. 在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，
∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个
故选：B
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2. 以下不能构成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，故能构成直角三角形；
B、∵，
∴，故能构成直角三角形；
C、设，则，
∵，
∴，故不能构成直角三角形；
D、∵，
∴，故能构成直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3. 当a满足（ ）时，二次根式有意义．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次根式中的被开方数必须是非负数．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】关于轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是：
故选：
【点睛】本题考查的是关于轴对称的两个点的坐标关系，掌握“关于轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．”是解题的关键．
5. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 三角形具有稳定性B. 周长相等的两个三角形全等
C. 全等三角形的对应边相等D. 等腰三角形的两个底角相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的性质逐项判断即可作答．
【详解】A、三角形具有稳定性，原说法正确，本项是真命题；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，本项是假命题；
C、全等三角形的对应边相等，原说法正确，本项是真命题；
D、等腰三角形的两个底角相等，原说法正确，本项是真命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，涉及全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的性质，掌握全等三角形的性质，是解答本题的关键．
6. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ）
A. 34B. 35C. 36D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【详解】解：将数据30，40，34，36按照从小到大排列是：30，34，36，40，
故这组数据的中位数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，求出相应的中位数．
7. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象过点B. 图象与轴的交点是
C. 随的增大而增大D. 函数图象不经过第三象限
【答案】D
【解析】
【分析】A、把点的坐标代入关系式，检验是否成立；
B、把y＝0代入解析式求出x，判断即可；
C、根据一次项系数判断；
D、根据系数和图象之间的关系判断．
【详解】解：A、当x＝1时，y＝1．所以图象不过（1，−1），故错误；
B、把y＝0代入y＝−2x＋3，得x＝，所以图象与x轴的交点是（，0），故错误；
C、∵−2＜0，∴y随x的增大而减小，故错误；
D、∵−2＜0，3＞0，∴图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质．常采用数形结合的思想求解．
8. 一次函数y＝kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，有由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y=kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
【详解】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0；一次函数y=kbx的图象可知kb＜0，两函数解析式均成立；
B、由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与次函数y=kbx的图象可知kb＞0矛盾；
C、由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与次函数y=kbx的图象可知kb＞0矛盾；
D、由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与次函数y=kbx的图象可知kb＜0矛盾．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
二、填空题
9. 81的算术平方根是 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【详解】解：81的算术平方根是：．
故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．
10. 已知，则为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出，，然后代入求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，解题的关键是根据非负数的性质求出，．
11. 小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了本作业本，剩余费用为元，则与的函数关系式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得作业本花费为元，进而依据剩余费用等于已有费用100元减去作业本花费元建立函数关系式即可．
【详解】解：由题意可知：
作业本花费：元，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数关系式的建立，读懂并理解题意并根据题意等量关系建立等量关系式是解题的关键．
12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
【答案】100．
【解析】
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
13. 如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，M、N分别是、的中点，点P是y轴上一个动点，当的值最小时，点P的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的坐标，根据中点，得到的坐标，求出点关于y轴的对称点的坐标，连接，根据两点之间线段最短，得到与轴的交点即为点，求出的解析式，即可．
【详解】解：∵，当时，，当时，，
∴，
∵M、N分别是、的中点，
∴，
∴点关于y轴对称点为，
连接，
∵点P是y轴上一个动点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
则：，
∴，
∴，
当时，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数，坐标与轴对称．解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点的位置．
三、解答题
14. 计算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，进行除法和完全平方公式的计算，再进行加减运算．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
15. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或4
（2）
【解析】
【分析】（1 ）首先移项，然后利用平方根的定义即可求解；
（2 ）首先移项，然后利用立方根的定义首先求出，然后即可求解．
【小问1详解】
解：
∴，
∴，
解得：或4；
【小问2详解】
解：
∴，
∴，
解得：．
【点睛】此题主要考查了利用平方根、立方根的性质解方程，熟练掌握平方根、立方根的性质．
16. 4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生月平均阅读册数为________本；
（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是________；
（3）在平均数、中位数这两个统计量中，________更能反映被调查学生月阅读的一般水平；
（4）若向阳中学共有学生2000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？
【答案】（1）2.3 （2）2
（3）中位数 （4）4600
【解析】
【分析】（1）根据平均数的概念求解；
（2）根据中位数的概念求解；
（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；
（4）用人数×平均数即可求解
【小问1详解】
解：平均阅读册数为：=2.3（本）；
【小问2详解】
解：∵共有100名学生，
∴第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数，即=2；
【小问3详解】
解：在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；
【小问4详解】
解：23×2000=4600（本）．
答：用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍4600本．
【点睛】本题考查了平均数、中位数等知识，掌握平均数、中位数的概念是解答本题的关键．
17. 解答：
（1）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根．
（2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意易得，，，进而求解a、b的值，进而代入求解，最后利用算术平方根进行求解即可；
（2）由数轴可知：，，，然后根据绝对值的意义进行化简求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，可得，，
故，，
又∴，
可得，
则，
所以的算术平方根为．
（2）由数轴可知：，，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减是解题的关键．
18. 在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）求证：；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）路线AC的长为8.45千米
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根据勾股定理解答即可．
【小问1详解】
证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
【小问2详解】
解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理是解题的关键．
19. 如图，已知四边形是正方形（四条边相等、四个角都是直角），E是正方形内一点，，以为斜边作直角三角形，又以为直角边作等腰直角三角形，且，连接．
（1）求证：；
（2）与存在怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若，，求点E到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）平行，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）正方形和等腰直角三角形的性质，推出，即可得证；
（2）全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，推出，即可得出结论；
（3）根据，，得到，，设，在中，利用勾股定理求出的值，过点作于点，等积法求出即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
∵以为斜边作直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，，，
∴，，
设，
在中，，
∴，
∴，
过点作于点，
则：，
∴，
∴，即：点E到的距离为．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的运算．解题的关键是证明．
四、填空题
20. 如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是___________，点表示的数是___________．
【答案】 ①. . ②. .
【解析】
【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据题意可得，然后根据数轴上个点的位置计算出表示的数即可.
【详解】解：点表示的数是,是原点，
，
，
以为圆心、长为半径画弧，
，
点表示的数是，
点表示数是，
故答案：；.
【点睛】本题考查了数轴的性质，以及应用数形结合的方法来解决问题.
21. 一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）____．
【答案】30cm．
【解析】
【分析】依题意，展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．
【详解】由题意，得AC=3×16÷2=24．在Rt△ABC中，由勾股定理，得
=30cm．
故填：30cm．
【点睛】本题考查圆柱体最短距离问题，重点在于图形的转化展开及两点之间的距离公式．
22. 如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
【详解】解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴DE2+AC2=BD2，
∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．
23. 满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有________组这样的“完美勾股数”．
【答案】
【解析】
【分析】根据，得到，进而得到为奇数，再根据，得到，确定出之前的是奇数的完全平方数的个数，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴为奇数，且为完全平方数，
∵，
∴，
∴为以内的数，有：，共7个；
∴共有组这样的“完美勾股数”；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股数，理解并掌握“完美勾股数”的定义，是解题的关键．
24. 如图，在矩形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．在上存在一动点P．连接、，则周长的最小值是________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，翻折得到，得到，当三点共线时，有最小值为，再根据，得到当三点共线时，的值最小，利用勾股定理求出的长，即可得解．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
连接，，

∵翻折，
∴，，
∴，
当三点共线时，有最小值为的长，即为，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，即为，
∴周长的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形与折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，利用轴对称解决周长最小问题，是解题的关键．
五、解答
25. 已知：，．
（1）化简求值：求的值；
（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）先进行分母有理化，再将转化为，代值计算即可；
（2）先进行无理数的估算，确定的值，再代入代数式进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，即：，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查分母有理数，无理数的估算．熟练掌握分母有理化的方法，以及利用夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键．
26. 定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
（3）在（2）的问题中，若∠ACM=15°，AM=1，CM=，求BM的长．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．）
【答案】（1）或；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可．
（2）只要证明以及即可．
（3）如图，过作于于．结合图中相关线段的和差关系和直角三角形的性质求得．由（2）得结论，．则．
【详解】（1）解：①当为最大线段时，
点、是线段的勾股分割点，
；
②当为最大线段时，
点、是线段的勾股分割点，
，
综上所述：或；
（2）①证明：连接，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，即，
点、是线段的勾股分割点；
（3）如图，过作于于．
则，，
设，则，．得
，
，
．由（2）得结论，．
．
【点睛】本题考查几何变换综合题，解题的关键是需要掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，利用旋转法添加辅助线．
27. 长方形中，点E是中点，沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点F．

（1）如果点G在长方形的内部，如图①所示．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求的长度．
（2）如果点G在长方形的外部，如图②所示，（），请用含k的代数式表示的值．
【答案】（1）（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
（2）
【解析】
【分析】（1）（Ⅰ）如图所示，连接，根据矩形的性质和已知条件，证明，即可得证；（Ⅱ）设，则可用含的代数式表示出，在中利用勾股定理求出的值，即可．
（2）同（1）法证明，设，，用含的代数式表示出，勾股定理得到与的关系，再代入计算，即可．
【小问1详解】
解：（Ⅰ）证明：连接，

∵点E是中点，
∴，
∵四边形为长方形，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，，
在和，
，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，设，
∴，
∴，
∵四边形为长方形，
∴，
∵翻折，
∴，
由（Ⅰ）知：，
∴，
在中，，即：，
∴（负值已舍去）；
∴；
【小问2详解】
连接，

同（Ⅰ）法可得：，
∴，
设，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键．月阅读册数（本）
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