第十二讲 导数的概念及运算-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第十二讲 导数的概念及运算

【基础知识】

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率__＝l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即 ＝f′(x0).

(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0).

2.函数y＝f(x)的导函数

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′、y′).

3.导数公式表

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝(g(x)≠0).

5.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.

【考点剖析】

考点一　导数的运算

【例1－1】 分别求下列函数的导数：

(1)y＝exln x；

(2)y＝x；

(3)f(x)＝ln .

【解析】(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex.

(2)因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－.

(3)因为y＝ln ＝ln，

所以y′＝··(1＋2x)′＝.

【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　)

A.－e   B.2   C.－2   D.e

【解析】由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.

答案　B

规律方法　1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

考点二　导数的几何意义　

【例2－1】（2021·广西壮族自治区钦州一中高三月考（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

【解析】

，

将代入得，故选D．

【例2－2】 （2021·梁河县第一中学高三期中（文））函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.

在上有解，则.

因为，所以，所以的取值范围是.

【例2－3】（2021·江西省新余一中高三月考（文））设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝.选D.

规律方法　1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.

2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

【真题演练】

1．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

2．（2021·全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．

【答案】

【详解】

由题意，，则，

所以点和点，,

所以，

所以，

所以，

同理,

所以.

3．（2021·全国高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．

①；②当时，；③是奇函数．

【答案】（答案不唯一，均满足）

【详解】

取，则，满足①，

，时有，满足②，

的定义域为，

又，故是奇函数，满足③.

故答案为：（答案不唯一，均满足）

4．（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a=_________．

【答案】1

【详解】

由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得：.

5．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【详解】

由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

 【过关检测】

1．若过函数图象上一点的切线与直线平行，则该切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：由题意，求导函数可得，

∵切线与直线平行，

∴，

∴，

∴切点P坐标为，

∴过点P且与直线平行的切线方程为，即．

故选：C．

2．函数在处的切线斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，，，积切线斜率为0.

故选：C.

3．已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（     ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】D

【详解】

因为，所以，因此切线方程的斜率，

所以有，得，

又切点在切线上，可得切点坐标为，

将切点代入中，有，得，

所以.

故选：D.

4．已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由，，，故过处的切线方程为：，故l过定点

5．过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【详解】

抛物线，即，则由切线斜率，

设切点，则，又，

所以切线方程为，即 ，

同理切线方程为，

两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，

故.

故选：C.

6．设曲线在点处的切线与直线平行，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对函数求导得，

由已知条件可得，所以，.

故选：B.

7．关于函数，下列判断错误的是（    ）

A．函数的图象在处的切线方程为

B．是函数的一个极值点

C．当时，

D．当时，不等式的解集为

【答案】B

【详解】

对于A选项，，则，所以，，，

所以，函数的图象在处的切线方程为，即，A选项正确；

对于B选项，当时，对任意的，，

此时函数在上单调递增，无极值，B选项错误；

对于C选项，当时，，该函数的定义域为，

.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增.

所以，，C选项正确；

对于D选项，当时，，则对任意的恒成立，

所以，函数为上的增函数，

由可得，所以，，

解得，D选项正确.

8．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（    ）(为自然对数的底)

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，时符合题意；

时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，

综上可得，实数的取值范围为.

9．已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，

由题知，∴，，

两点处的切线方程分别为和，

故，即.

故选：D.

10．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

∵且，

∴，即.

令，得：，

∴，所以.

故选：C