黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的离心率（ ）
A. 与有关，但与无关B. 与有关，且与有关
C. 与无关，但与有关D. 与无关，且与无关
【答案】A
【解析】双曲线的标准方程为，
它的焦点在轴上，离心率，它与无关，与有关，
故选：A.
2. 若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等边三角形的边长为，
则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为，
代入抛物线方程得，解得.
故选：B
3. 一个电子产品由A，B两部分元器件组成，两部分有任何一部分损坏，该产品就无法正常工作.若使用1年后，A部分损坏的概率为0.1，B部分损坏的概率为0.05，且这两部分损坏与否相互独立，则该电子产品使用1年后无法正常工作的概率为（ ）
A. 0.15B. 0.005C. 0.14D. 0.145
【答案】D
【解析】所求概率为，
故选：D.
4. 已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆和圆的圆心、半径分别为，，，，
由可知圆内含于圆，
设动圆半径为R，由题意可得，，
两式相加可得，
故P点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，
所以椭圆方程为，
故选：D.
5. 若双曲线的左、右两焦点分别为，，其渐近线上存在点P满足，，则此双曲线渐近线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
又因为在中，，
则，
即其中一条渐近线的斜率，因此双曲线的渐近线的方程为，

故选：C.
6. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】由抛物线方程可得焦点，准线方程为，
如图：
过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，所以，所以，
当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小，
又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，
所以.
故选：A.
7. 已知是圆上的两个动点，点，且，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设的中点为，则，因为，

所以要使AB最大只需最小，由，得，
所以，设，则，
整理得，所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又，即在此圆内，故，
所以，故
故选：B.
8. 若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，，则，
易知F1-1,0，，由椭圆焦半径公式可得，，
设分别为的内切圆与边，，的切点，则，
根据内切圆的性质知，，，
因此，
即，解得.
在中，，解得，
因此，所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则（ ）
A. 取出的球颜色全不相同的概率为
B. 取出的球颜色不全相同的概率为
C. 取出的球恰有2次红球概率为
D. 取出的球无红球的概率为
【答案】AC
【解析】根据题意，设黄球、红球、白球分别为a,b,c，从中有放回地取3次，所有基本事件有如下种：
，
，
.
对A：取出的球颜色全不相同的方法有6种，，，，，，，
总的取球方法有27种，因此取出的球颜色全不相同的概率为，A正确；
对B：取出的球颜色全相同的方法有3种，，
因此取出的球颜色不全相同的方法有种，因此取出的球颜色不全相同的概率为，B错误：
对C：取出的球恰有2次红球的方法有6种，，，，，，，
总的取球方法有27种，因此取出的球恰有2次红球的概率为，C正确；
对D：取出的球没有红球的方法有种，
总的取球方法有27种，因此取出的球没有红球的概率为， D错误.
故选：AC.
10. 已知点，圆和圆，过圆上一点P作圆的两条切线，，圆E为的外接圆，则（ ）
A. 圆E的半径为定值
B. 圆E一定与圆相切
C. 的值可能等于2
D. 当点P的坐标为时，直线的方程为
【答案】ABD
【解析】A选项，因为，，所以的外接圆就是以为直径的圆，因为点C是圆的圆心，所以为定值，即圆E的半径为定值，选项A正确；
B选项，因为圆E的圆心E是的中点，所以圆E和圆的圆心距，
等于两圆的半径之差，所以圆E一定与圆相切，选项B正确；
C选项，因为圆的直径为2，为圆的弦（不是直径），
假设为圆的直径，此时两切线平行，无交点，故圆的弦（不是直径），
所以，的值不可能等于2，选项C错误；
D选项，当点P的坐标为时，点E是的中点，点E坐标为，
圆E的方程为，
直线就是圆和圆E的公共弦所在直线，
将两圆方程相减，即可得直线的方程为，选项D正确.
故选：ABD.
11. 平面内到两个定点距离之积为定值的点的轨迹被称为“卡西尼卵形线”.若，是平面内的两个定点，平面内满足的动点P的轨迹为曲线C，则（ ）
A. 曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 动点P的横坐标的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A：令，则，
所以，则，
将、、代入上述方程后，均有，
所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项A正确；
对于B：由可得，
由可得，即，
整理得，即，，选项B正确；
对于C：由，
因为，所以，的取值范围是，选项C错误：
对于D：因为，
所以令，则，
因为，
所以，得，
又因为，所以面积的最大值为，选项D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 抛物线的准线方程是______.
【答案】
【解析】由得抛物线方程为，所以，
所以抛物线的准线方程是.
13. 当点到直线的距离最大时，实数______.
【答案】
【解析】因为直线方程可变形为，
由，解得，，由此可得直线系恒过定点，
到直线的最远距离为，此时直线垂直于，因为，
所以直线的斜率为2，由可解得.
14. 已知椭圆，过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若点B在线段上，则______.
【答案】
【解析】右焦点，设直线，Ax1,y1，Bx2,y2，
则，
由，可得，
所以，，
所以.
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程.
15. 甲、乙两人进行一次围棋对抗赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在每局中，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，各局比赛结果相互独立.已知前两局中，甲、乙各胜1局.
（1）求再赛两局比赛就结束的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率.
解：（1）用表示事件“第i局甲胜”，表示事件“第j局乙胜”（i，，4，5），
设“再赛两局结束这次比赛”为事件A，
则
因为互斥,且两两相互独立，
所以
，
故再赛两局结束这次比赛的概率为0.52.
（2）设“甲获得这次比赛胜利”为事件B，
则
故甲获得这次比赛胜利的概率为0.352.
16. 已知抛物线，过点的直线与抛物线C相交于A，B两点，且的最小值为4.
（1）求p的值；
（2）若线段的中点为M，O为坐标原点，直线的斜率为，求直线的方程.
解：（1）设Ax1,y1，Bx2,y2，直线的方程为，
将其代入抛物线方程得，，，
由
，
因为，所以当时，AB取最小值，
所以，解得.
（2）设，则，，
所以，整理得，解得或，
直线的方程为或.
17. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若到平面的距离为，求的值.
（1）证明：取的中点为，连接，，因为，且，
所以四边形为等腰梯形，又因为M，N分别为，中点，所以，
因为，所以，因为，且，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）解：由二面角定义可得，二面角的平面角即为，
当时，即，棱台的高等于.
由，，可得，
又因为此棱台的上、下底面面积分别为，，
所以棱台的体积为.
（3）解：由（1）知，，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，
过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A2,0,0，，，，，
因为，可得，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
因为，，
所以，
令，则，，可得，
因为，所以到平面的距离为，
即，可得，整理得，
解得或，又，可得.
18. 已知椭圆的右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点（其中点在轴的上方），点，分别为椭圆的左、右顶点.
（1）若的垂直平分线交轴于点，为坐标原点.求的取值范围；
（2）若直线和相交于点，试探究能否在一条定直线上运动？若能，求出的值，若不能，请说明理由.
解：（1）因为右焦点的坐标为，可设直线的方程为，
代入，得，
所以，，
设中点的坐标为，则，，
的垂直平分线方程为，
令，可得，
所以，即的取值范围是.
（2）因为，，，，
则直线方程为，直线的方程为，
联立方程，消去，可得，
所以，
因为，
所以，
即，
所以
.
由（1）可知，，
代入整理可得，解得.
所以能在一条定直线上运动，.
19. 如图，已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，圆O的方程为，过圆O上任意一点P作圆O的切线交双曲线于A，B两点.
（1）求双曲线E的方程；
（2）求证：；
（3）若与坐标轴不垂直的直线l和双曲线E的渐近线相交于C，D两点，且，求实数的取值范围.
（1）解：由题意知，，所以，，
又因为，得，
故双曲线E的方程为.
（2）证明：①当直线的斜率不存在时，不妨取，
此时A，B两点的坐标分别为，，
,
则，所以，即，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设
因为直线与圆O相切，所以，即
将代入，得，
，，
故
，
又因为，所以，所以，即，
综合上述，可知.
（3）解：设,因为的渐近线方程可写为，
将代入，得，
所以,,
所以，
由（2）可得，
又因为，即，所以，
所以，
因为直线l与坐标轴不垂直，所以且，
因此，所以.