黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共35页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知函数， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：必修第一册第一章至第四章4.3对数.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，所以.
故选：D
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题知，解得，所以定义域为.
故选：A.
3. 若，，则的值是（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】C
【解析】由，得，又，
所以.
故选：C
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题知函数的定义域为，，
所以函数为偶函数，排除C，D，令，得，排除A，故B正确.
故选：B
5. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，对有，不满足条件；
当时，对任意均有
，满足条件；
当时，对有，不满足条件.
所以的取值范围是.
故选：C.
6. 若“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】若“，”为真命题，则，又函数的图像开口向上，对称轴为，所以时，
，所以.
故选：B
7. 已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知，，解得.
故选：A.
8. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（ ）
A. 4B. 2C. D. 0
【答案】D
【解析】因为函数是上的奇函数，所以.
又对任意，都有成立，
令，得，即，所以，则，所以，则，
故，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】因为，所以，所以，A正确；
因为，所以，，所以，即，B正确；
取，，此时，C错误；
取，，，此时，，，D错误.
故选：AB
10. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 在上单调递减
C. 在上单调递增D. 的最小值为9
【答案】ACD
【解析】对于A，由题知，的定义域为，且
，所以为偶函数，故A正确；
对于B，C，D，令，则当时，，当且仅当时取最小值2，易证当时，为增函数，当时，为减函数，
又函数为增函数，由复合函数的单调性可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，最小值为，又函数为偶函数，所以在上单调递增，最小值为9，故B错误，C，D正确，
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是
D. 若，则有8个互不相等的实数根
【答案】AC
【解析】函数的定义域为，满足，即，
所以，故A正确；
当时，，则，故B错误；
将函数在上的图象每次向右平移2个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在，，……上的图象，同理将函数在上的图象每次向左平移2个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍即可得函数在，……上的图象，作出函数的图象，如图所示，
因为当时，，所以当，，
则，
则，
令，即，解得，，
又因为对任意的，都有，结合图象可得，C正确；
因为，易知在，上单调递减，
作出函数 和的图象，由此可得两函数有7个交点，
所以有7个互不相等的实数根，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“”的否定是____________.
【答案】
【解析】因为全称命题的否定为特称命题，故命题“”的否定为：“”.
故答案为：.
13. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】12
【解析】函数的图像过定点，所以，，即，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故答案为：12
14. 已知函数，若时，方程的解分别为，，方程的解分别为，（），则的最小值为____________.
【答案】
【解析】由，得或，
所以，，所以.
由，或，
所以，，所以，
所以.
令，易知在上单调递增；
所以当时，所以，即的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）因为为幂函数，且在上单调递增，所以解得.
（2）由（1）知函数，为奇函数且在上单调递增，
由，得，
即，解得，所以实数的取值范围为.
16. 已知集合或，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：（1）当时，或，
所以或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，
令，解得或，
当时，，所以集合或，
因为是的真子集，所以等号不同时取得，解得，所以；
当时，集合，满足是的真子集；
当时，，所以集合或，
因为是真子集，所以，等号不同时取得，解得，所以，
综上，实数的取值范围为.
17. 已知函数.
（1）证明：函数在区间上单调递增；
（2）设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.
（1）证明：设，
则，
因为，所以，，，
所以，所以函数在区间上单调递增，
（2）解由（1）知，函数在区间上单调递增，
所以当时，，则问题转化为，
当时，恒成立
又函数在上单调递减，所以，
所以，解得，
故实数的取值范围为
18. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
（1）求的值；
（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）；
（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.
解：（1）将，代入，
得，解得.
（2）由题意得，，.
当时，由（1）知，，
则；
当时，.
则，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
.
（3）由（2）得当时，
，
所以当时，；
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，.
又，故时，利润最大，最大利润是500万元.
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
19. 若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”.
（1）函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由；
（2）已知函数.
①函数是在区间上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值.
解：（1）因为函数在区间上单调递减，所以，，所以，故是在区间上的“美好函数”；
因为函数在区间上单调递增，所以，，
所以，故不是在区间上的“美好函数”；
因为在区间上单调递增，所以，，
所以，故是在区间上的“美好函数”.
（2）①有题知.
因为，所以.
令，则，
当时，函数在区间上单调递增，
此时，，所以有；
当时，函数在区间上单调递减，
此时，，所以有
综上所述，；
②由题可知，函数.
因为，所以.
令，则，.
可知此时，函数的对称轴为且开口向上
当，即时，函数在上单调递减，
此时，，
因为函数是在区间上的“美好函数”，
所以有，整理得，无解；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，又，故此时，
因为函数是在区间上的“美好函数”，
所以有，解得（舍去）；
当，即时，函数在上单调递增，
此时，，
因为函数是在上的“美好函数”，
所以有，解得.
综上所述：.