辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 若直线的倾斜角为，则， 已知直线与圆相切，则， 已知向量，若，则， 关于曲线，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 若直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】依题意，.
故选：D.
2. 已知直线与圆相切，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由题意，得圆心坐标为，因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
所以，解得.
故选：B.
3. 已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）
A. 1或2B. 2或4C. 2或8D. 4或8
【答案】C
【解析】由题意得，，
其中，故，解得或8，故选：C.
4. 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，所以.
故选：C.
5. 已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取椭圆的另一个焦点为,连接，则四边形为平行四边形，
设，由椭圆的对称性得，
其中，即，
所以，
令，
所以当时，，当或3时，，
即的取值范围是.故选：D.

6. 火电厂的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面，可以看成是由双曲线绕其虚轴旋转所成的曲面的一部分（如图1），它的优点是对流快､散热效果好.某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：），图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔的占地面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，可得出，这是一个半径为的圆，
根据比例尺得出实际圆的半径长为，所以占地面积为.
故选：B.
7. 已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设点，根据中点的坐标公式可得，代入椭圆方程得，其中.
故选：C
8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为平面，，
以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
连接，则、，设，其中，
所以，，
则点到直线的距离
，
设，因为，所以，
则.
所以，点到直线的距离的最小值为，
故选：A.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 关于曲线，则（ ）
A. 曲线不可能表示直线
B. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
C. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则其焦距为
D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则其长轴长为
【答案】BC
【解析】对于A，当，时，方程为，即或，
此时方程表示直线，故A错误；
对于B，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，
将椭圆方程化为标准形式，所以，则，故B正确；
对于C，因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，
将方程化为，依题意，焦距，故C正确；
对于D，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，
将方程化，依题意，椭圆长轴长为，故D错误.
故选：BC.
10. 如图所示，在长方体中，分别在棱和上，，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 直线和平面所成角的正弦值为
D. 若为线段的中点，则直线平面
【答案】ABD
【解析】因为
又
所以
又，所以又，
所以
综上可知：分别为所在棱的三等分点，由于直线不平行于平面，
所以两点到平面的距离不相等，所以两个三棱锥的体积不相等，故A正确；
对于B，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，
则直线与所成角的余弦值为，
故B正确；
对于C，，
则，
设平面的一个法向量为，则，
取，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为，故C错误；
对于D，连接，交于点，连接，则，
又平面平面，从而平面，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左､右顶点分别为，直线与直线及轴分别交于点，则（ ）
A. 的周长为10
B. 直线的斜率之积为定值
C. 当时，线段的中点到直线的距离为
D. 若，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】如图，椭圆，长轴长，短轴长，焦距，
对于A，直线过椭圆的左焦点为右焦点，
则的周长为，故A错误；
对于B，设Mx1,y1，则，
所以，同理，
所以直线的斜率之积为，故B正确；
对于C，将直线与联立得，
设Nx2,y2，则，，
线段的中点到直线的距离为，
当时，，故C错误；
设，由共线得，
即，
同理由共线得，所以，
而，则，
所以，又，则，故D正确.
故选：BD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，则过点且与直线垂直的直线的方程为__________.
【答案】
【解析】直线的斜率为，所以与垂直的直线斜率为，
又直线过点，可得所求直线的方程为，即.
13. 已知是双曲线的两个焦点，点在上，且，若，则双曲线的方程为__________.
【答案】
【解析】设双曲线的标准方程为，，
由已知可得，
即，
因，
所以，
所以，故双曲线的方程为.
14. 已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为________．
【答案】
【解析】如图，由，得，又因为F1,0为，的中点，
所以，即N为PF的三等分点，且，
又因为，
所以，且，所以．
不妨设Px0,y0，且在第一象限，，，解得，
因点Px0,y0在抛物线上，
所以，
所以△AMN的面积．
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知的顶点的中点为的中点为所在直线的方程为所在直线的方程为.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
解：（1）由点在上，设点的坐标是，
则的中点在直线上，于是，
解得，即点，
设点的坐标是，则的中点在直线上，
于是，解得，即，
所以直线的方程为，即.
（2）由（1）可得，
又点到直线的距离.
所以的面积.
16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面为的中点.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：如图，取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以.
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又平面，所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：因为，又为中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，所以平面，
所以两两垂直.
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作两条直线，直线与交于两点.
（1）若的面积为，求的方程；
（2）若与交于两点，且的斜率是斜率的倍，求的最大值.
解：（1）由题意知，易知的斜率不为，
设，
联立，得，
所以.
所以，
由，解得，
所以的方程为或.
（2）由（1）可知，
因为的斜率是斜率的倍，所以，
得.
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
18. 已知圆的圆心在以点为端点的线段的垂直平分线上，圆的所有过点的弦中最短弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点，并求出该定点的坐标.
（1）解：设线段的垂直平分线斜率为，则，所以.
又线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，即，
则圆心的坐标在上，所以.
因为，圆的所有过点的弦中最短弦长为，
易知最短弦垂直于，所以,所以，
则圆的方程为.
（2）证明：显然直线的斜率存在，设其方程为，
与圆的方程联立并消去得，
设，则，
直线的方程为，令，得，所以.
同理得，
所以线段的中点纵坐标为
，
所以线段的中点坐标为，是一个定点.
19. 在平面直角坐标系中，，分别为双曲线的左､右焦点，已知，为双曲线上的两动点，若点的横坐标为3，则的长为.
（1）求的方程；
（2）设，，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围；
（3）已知点在轴上方，直线过双曲线的右焦点且与轴交于点，若的延长线与交于点，问是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）设，由点为双曲线上的一点，得①
因为，所以，得②，
又③，由①②③得，，
所以双曲线的方程为；
（2）设，因为，，
所以，.
由，得，
即，又，则，解得，
所以，
即的取值范围是；
（3）不存在轴上方的点使得成立.
理由如下：
设Ax1,y1，Bx2,y2，，，
①当直线的斜率大于零时，由图象对称性，可知，关于轴对称，
则，其中，，又，，
所以，，，
则，
同理，
由，得，
因此，所以，
设直线，由消去，
得，且，
所以，故，
又，所以，，
由，得，所以此时这样的点不存在.
②当直线的斜率小于零时，由图象对称性，可知，关于轴对称，
则，又，
所以此时这样的点不存在.
综上，不存在满足条件的点.