辽宁省部分学校2025-2026学年高二上学期9月开学联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省部分学校2025-2026学年高二上学期9月开学联考数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．B．2C．11D．
2．在中，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（ ）
A．B．C．D．1
4．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（ ）

A．B．C．D．
6．若点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
7．若，，分别表示，的面积，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．D．
10．下列关于向量的说法中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若同向，则
D．若不共线，则
11．已知函数的最小正周期为，且，则（ ）
A．
B．
C．在上恰有4个零点
D．将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
三、填空题
12．一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ．
13．某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为 ．
14．如图，在圆（为圆心）中，弦的长度为8，则 ．

四、解答题
15．已知函数．
(1)求曲线的对称轴方程；
(2)求在上的值域．
16．如图，在直三棱柱中，分别是的中点．
(1)证明：∥平面．
(2)设，．
①证明：平面．
②求点到平面的距离．
17．的内角的对边分别为，已知．
(1)求．
(2)已知点在线段上，且，．
①求；
②求的面积．
18．如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．

(1)求和的值，并用表示；
(2)若，，，求与夹角的余弦值．
19．如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2.
(1)设.
①证明：.
②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由.
(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
1．D
根据虚部定义求解.
【详解】复数的虚部为．
故选：D.
2．A
根据题意，求得，设 外接圆的半径为，结合正弦定理，即可求解.
【详解】由，且，所以，
设 外接圆的半径为，
因为，所以，所以，故外接圆的面积为．
故选：A.
3．B
根据投影数量的定义求解即可.
【详解】在上的投影的数量为．
故选：B.
4．C
先根据的范围求出，然后根据和差倍角的余弦公式求出结果.
【详解】由题意可知，，，
所以．
故选：C.
5．B
利用斜二测画法还原，再解三角形计算即可.
【详解】因为，，所以．
因为，所以，，所以．
还原直观图得到，如图所示．

因为，，所以．
故选：B
6．A
先由三角函数的定义，得到，再化简原式为，代入计算，即可求解.
【详解】由点在角的终边上，可得，
则．
故选：A.
7．D
作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到.
【详解】如图，设分别是的中点．
因为，所以，
即，所以三点共线，
又，故，
为的中位线，故，故，
又，，
所以．
故选：D
8．C
过点作的平行线，并与的延长线交于点,进而由平面得到为直线与平面所成的角,借助余弦定理及三角函数的定义即可求出线面角.
【详解】由题意易得
又因为且面，
所以平面.
如图过点作的平行线，并与的延长线交于点，
所以平面.
连接，则直线与平面所成的角为．
在中，，
由，，可得.
由，可得.
则，则．
故选：C.

9．AC
根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D.
【详解】因为是纯虚数，所以A正确；
因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确；
因为的共轭复数为，所以C正确；
因为，所以D不正确．
故选：AC
10．BC
对于A，易知时不成立；对于B，由垂直的向量表示可得；对于C，由向量的模长的线性运算可得；对于D，易知不共线，但模长可能相等.
【详解】若都是非零向量，，则显然满足已知条件，但是结论不一定成立，故A错误；
当 时，若或 为零向量，根据规定，零向量与任意向量垂直，结论成立；
若和 均为非零向量，则两向量的夹角为，即 ，综上，B正确；
若同向，不妨设，则，故C正确；
因为不管是否共线，，都有可能相等，所以D错误．
故选：BC.
11．BD
由函数的周期及最值求得，进而逐项判断即可.
【详解】因为的最小正周期为，所以，A不正确.
由，得，则.
因为，所以，B正确.
所以，由，得，
由，
可得和，
得和，
则在上恰有2个零点，C不正确.
由，得，是偶函数，D正确.
故选：BD
12． /
根据扇形的弧长公式和面积公式计算即得.
【详解】因为圆心角为，半径为4，
所以弧长为，该扇形的面积为．
故答案为：
13．
设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，根据条件求出，再利用圆台的侧面积公式，即可求解.
【详解】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，
则，其母线长，
所以，，故，
故答案为：.
14．
取线段的中点，得到，结合向量数量积的定义，即可求解.
【详解】如图所示，取线段的中点，连接，则，
所以，则．
故答案为：.

15．(1)
(2)
（1）根据题意，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解；
（2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由函数，
令，得，
所以曲线的对称轴方程为．
（2）因为，可得．
令，则，
因为，
所以在上的值域为．
16．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
（1）连接交于点，连接，由中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）①先证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，继而得.再利用平面图形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理即可得证；
②设点到平面的距离为，先由余弦定理求得，继而求得，，.再根据等体积法得，即可求得.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点．
因为是的中点，所以∥．
因为平面，平面，所以∥平面．
（2）①因为是直三棱柱，所以．
因为，为的中点，所以．
因为，平面，所以平面.
∵平面，∴．
因为，，所以，所以．
因为，所以，，．
因为，所以．
因为，平面，所以平面．
②在中，，，，
则．
因为，所以．
设点到平面的距离为，
由①可知平面，
所以三棱锥的体积
．则，
即点到平面的距离为．
17．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，．
所以，
因为，
所以，即，
两边平方可得，
所以，．
（2）①，
因为，所以，
．
在中，，
所以．
②在中，，,
.
.
18．(1)，，
(2)
【详解】（1）因为，，，
则，，
所以，，
所以，，
因为
，
所以，解得，
所以，
；
（2）因为，，，
所以，，，
因为，，
所以．
，
．
因为，
所以与夹角的余弦值为．
19．(1)①证明见解析；②存在，
(2).
【详解】（1）①证明：如图，在中，记的中点为，连接.
由题意，是的中位线，
因为，，所以，，
在中，由正弦定理得，
即，解得.
因为，且，所以.
因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，所以.
在翻折后，，.
因，有，所以是等腰直角三角形.
故，，与相交于，且平面，所以平面.
因为平面，平面，所以.
②解：由①知在四棱锥中，，，两两垂直，
延长至点Q，使得，则.
延长至点P，使得，则.
因为，，所以，
不在平面内，平面，
所以平面，
因为，，所以，
不在平面内，平面，
所以平面，
因为与相交于，且平面，
所以平面平面.
因为平面，所以平面.
此时，即.
（2）
过作于，过作，交于，连接.
则即为二面角的平面角.
因为，，与相交于，且平面.所以平面.又因为平面，所以平面平面.
所以是直线在平面的投影，故即为与平面所成角，所以.
因为，所以.
因为，，且为的中点，所以.
因为，，故.
在中，，，，
所以，.
在中，，，，所以.
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
B
A
D
C
AC
BC
题号
11









答案
BD