辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期联合质量检测数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期联合质量检测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 十三棱锥的顶点的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】十三棱锥的顶点的个数为.
故选：B.
2. 已知空间向量，.若，则（ ）
A. 12B. 10C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以有：，
解得，，所以.
故选：A.
3. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，A错误.
设，不共面，所以不存在使其成立，故三个向量不共面，B正确.
错误.
错误.
故选:B.
4. 在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∴
当时，为增函数，∴，
∵为整数，∴的最小值为，
故选：C.
5. 某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设该三棱锥的体积为，表面积为，该三棱锥的内切球的半径为，
则，所以，
故该三棱锥的内切球的直径为.
故选：B.
6. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设与的夹角为，由，得，
两边同时平方得，
所以1，解得，
又，所以.
故选：D.
7. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，，设，连接，则平面，
取的中点，连接，，

则由正四棱锥的结构特征可知，
所以为侧面与底面所成的角，
设，则，
在中，，
所以，又，所以，
所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，
所以顶点每个面角均为，
故正四棱锥在顶点处的曲率为.
故选：D.
8. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】∵
，
∴．
∵，∴．
∵四点共面，∴，即．
∵，
当且仅当时，等号成立，
∴的最小值为1．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知几何体为长方体，则（ ）
A. 在方向上的投影向量为
B. 在方向上的投影向量为
C. 在方向上的投影向量为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】AC
【解析】如图：
在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确；
因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误；
因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确；
虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误.
故选：AC.
10. 在空间直角坐标系中，，，，，则（ ）
A. 点在平面内B. 四面体为正四面体
C. 点到直线的距离为D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，，，，
所以，则，
所以为线段的中点，所以点在平面内，故A正确，
对于B，因为，，，，
所以由空间两点距离公式得，
所以四面体为正四面体，故B正确，
对于C，因为四面体为正四面体，所以是正三角形，
则点到直线的距离为，且为线段的中点，
所以点到直线的距离为，故C错误，
对于D，由题知，，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ）
A. 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B. 容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C. 当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为
D. 当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
【答案】BCD
【解析】作圆锥的轴截面如图：
设，
由相似三角形可得：，
所以，
对于A：由于液体高度与圆锥高度之比，
所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误．
对于B：设容器内液体倒去一半后液体的高度为，
则，解得，B正确．
对于C：因为，，
所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为，C正确．
对于D:当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，
设容器内液体的高度为，体积，
则，，D正确．
故选: BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若空间向量，，，则_____.
【答案】
【解析】依题意得，
解得.
13. 已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为________，球的表面积为________.
【答案】4
【解析】在中，，.
根据正弦定理（为外接圆半径），
这里，，所以，解得.
因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径.
因为、、三点所在平面经过球心，
当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径，所以点到平面的距离的最大值为.
则球的表面积为.
14. 在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________.
【答案】
【解析】连接，，设，
由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设与，都垂直的向量为，
则，即，
令，则，，
所以为与，都垂直的一个向量，
则线段的长度的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
证明：（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点，
又为的中点，
则有，平面，平面，
所以平面
（2），分别为，的中点，则有，
平面，平面，
则有平面，
，分别为，的中点，有，
又，则有，
平面，平面，
则有平面，
平面，，
所以平面平面.
16. 在正四棱台中，.
（1）若，四棱台的体积为，求该四棱台的高；
（2）若，求的值.
解：（1）设该正四棱台的高为，则，
解得.
（2）在正四棱台中，底面与底面均为正方形，且对应边互相平行，
所以，，
，
过作，垂足为，易得，所以，
所以.，
故.
17. 如图，在四棱锥中，底面平面.

（1）证明：平面平面PAB.
（2）若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值.
（1）证明：底面，平面，，
，，平面，平面，
平面PAD，平面平面，平面，
，平面，
又平面平面平面PAB
（2）解：，直线PD与直线BC所成的角为，
底面，平面，
，即，
设，则，
以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，

设平面PCD的法向量为，则，
取，则，得，
易知平面PAB的一个法向量为，
则，
故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为.
18. 如图，在正方体中，，.
（1）当取得最小值时，求与的值.
（2）设与平面所成的角为.
①若，求的值；
②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值.
（1）解：以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
∴，，
即，
∴，
当时，取得最小值，
此时，
∵，
∴；
（2）①解：，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则即，
令，得，
∵，
∴，
∵，∴，
又，∴；
②证明：由①知，
则，，
∴，
∴存在常数，使得为定值，且该定值为2.
19. 空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为
（1）证明：.
（2）设，，是平面内不共线的三个不同的点.
①证明：是平面的一个法向量.
②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）.
（1）证明：因为，
所以
，
所以.
（2）①证明：设，，
则，
所以，
，
所以，，所以是平面的一个法向量；
②解：设，，
则，
所以
，
而，
，
所以，
又，
所以，
所以的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直.