2025-2026学年辽宁省部分学校高二上学期9月联考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年辽宁省部分学校高二上学期9月联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=2−11i的虚部为( )
A. −11iB. 2C. 11D. −11
2.在▵ABC中，csC=2 23,AB=4，则▵ABC外接圆的面积为( )
A. 36πB. 24πC. 48πD. 144π
3.已知向量a,b满足a=2，且a,b=120°，则a在b上的投影的数量为( )
A. − 3B. −1C. −3D. 1
4.已知α∈π2,π，β∈π,3π2，sinα= 33，tanβ=12，则cs(α−β)=( )
A. 2 15− 3015B. 30+ 1515C. 2 30− 1515D. 15−2 3015
5.如图，水平放置的▵ABC的斜二测直观图为▵A′B′C′，若A′B′=A′C′=2，B′C′=2 2，则BC=( )
A. 2 2
B. 4 3
C. 4 2
D. 2 3
6.若点P(4,−3)在角α的终边上，则cs2α−3π⋅tanα−πsinπ−α=( )
A. −720B. 720C. −725D. 725
7.若2OA+OB+3OC=0，S▵AOC，S▵BOC分别表示▵AOC，▵BOC的面积，则S▵AOC:S▵BOC=( )
A. 3:5B. 2:3C. 1:6D. 1:2
8.如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形ABCD，其中∠BAD=60°，AB=1，AB⊥BD，BC⊥CD，BC=CD.现将▵BCD沿着BD折起，连接AC，得到三棱锥C−ABD，取AD,BD的中点分别为E,F，连接CE,CF,EF.若∠CFE=30°，则直线AC与平面CEF所成的角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=5−8i，z2=9i，则( )
A. z2是纯虚数B. z1z2在复平面内对应的点位于第二象限
C. z1=5+8iD. z2=81
10.下列关于向量的说法中，正确的是( )
A. 若a//b，b//c，则a//c B. 若a⋅b=0，则a⊥b
C. 若a,b同向，则a+b=a+b D. 若a,b不共线，则a≠b
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|0，
所以sinC=1−csC，即sinC+csC=1，
两边平方可得2sinCcsC=0，
所以csC=0，C=π2．
(2)①cs∠BCD=csπ2−∠ACD=sin∠ACD= 66，
因为BC=BD=2，所以∠BCD=∠BDC，
csB=csπ−∠BCD−∠BDC=−cs2∠BCD=−2cs2∠BCD+1=23．
在▵BCD中，CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcsB=22+22−2×2×2×23=83，
所以CD=2 63．
②在Rt▵ABC中，∵csB=23,∴sinB= 1−232= 53，tanB=sinBcsB= 52，
∴AC=BCtanB=2× 52= 5．
S▵ACD=12AC⋅CDsin∠ACD=12 5⋅2 63· 66= 53．

18.解：(1)因为CA=a，CB=b，AD:DB=BE:EC=2:1，
则CE=13CB=13b，BD⃗=13BA⃗=13(a→−b→)，
所以AE=CE−CA=13b−a，CD=CB+BD=13a+23b，
所以AP=λAE=13λb−λa，DP=μCD=13μa+23μb，
因为AP=AD+DP=23AB+μCD=23b−a+μ13a+23b
=13μ−23a+23+23μb，
所以13μ−23=−λ23+23μ=13λ，解得λ=67μ=−47,
所以BP=AP−AB=13λb−λa+a−b=17a−57b，
CP=CA+AP=a+13λb−λa=17a+27b；
(2)因为a=1，b=2，a,b=π3，
所以a2=a2=1，b2=b2=4，a⋅b=1×2×csπ3=1，
因为PA=−AP=67a−27b，PB=−BP=−17a+57b，
所以PA= 67a−27b2= 3649a2−2449a⋅b+449b2=2 77．
PB= −17a+57b2= 149a2−1049a⋅b+2549b2= 917，
PA⋅PB=67a−27b⋅−17a+57b=−649a2+3249a⋅b−1049b2=−27．
因为csPA,PB=PA⋅PBPAPB=−272 77× 917=− 1313，
所以PA与PB夹角的余弦值为− 1313．

19.解：(1)①证明：如图，在▵ABC中，记AB的中点为G，连接GD．
由题意，GD是▵ABC的中位线，
因为BC=2 2，∠B=60°，所以GD= 2，∠EGD=120°，
在▵EGD中，由正弦定理得GDsin∠GED=EDsin∠EGD，
即 2sin∠GED= 3sin120°，解得sin∠GED= 22．
因为∠EGD=120°，且ED>GD，所以∠GED=45°．
因为DE是AC的垂直平分线，所以▵ADE是等腰直角三角形，所以DE=AD=DC= 3．
在翻折后，DE⊥FD，DE⊥DC．
因FC= 6，有FD2+DC2=FC2，所以▵FDC是等腰直角三角形．
故FD⊥ED，FD⊥DC，ED与DC相交于D，且ED,DC⊂平面BCDE，所以FD⊥平面BCDE．
因为BE⊂平面BCDE，BE⊂平面BCDE，所以FD⊥BE．
②解：由①知在四棱锥F−BCDE中，DE，DF，DC两两垂直，
延长ED至点Q，使得DQ=ED= 3，则∠DQC=45°．
延长FD至点P，使得PD=FD= 3，则∠DPQ=45°．
因为∠BED=135°，∠DQC=45°，所以CQ//BE，
CQ不在平面BEF内，BE⊂平面BEF，
所以CQ//平面BEF，
因为∠EFD=45°，∠DPQ=45°，所以PQ//EF，
PQ不在平面BEF内，EF⊂平面BEF，
所以PQ//平面BEF，
因为CQ与PQ相交于Q，且CQ,PQ⊂平面CPQ，
所以平面CPQ//平面BEF．
因为CP⊂平面CPQ，所以CP//平面BEF．
此时FD=DP，即λ=1．
(2)
过D作DM⊥CE于M，过M作MN⊥CE，交CF于N，连接DN．
则∠DMN即为二面角F−EC−D的平面角．
因为ED⊥FD，ED⊥CD，FD与CD相交于D，且FD,CD⊂平面FCD.所以ED⊥平面FCD.又因为ED⊂平面BCED，所以平面BCED⊥平面FCD．
所以CD是直线CF在平面BCED的投影，故∠FCD即为CF与平面BCDE所成角，所以∠FCD=60°．
因为FD=DC= 3，所以FC= 3．
因为DE=DC= 3，ED⊥CD，且M为CE的中点，所以CM=DM= 62．
因为EF=CE= 6，FC= 3，故cs∠ECF= 32 6= 24．
在▵CMN中，∠CMN=90°，cs∠MCN= 24，CM= 62，
所以MN= 422，CN=2 3．
在▵CDN中，∠DCN=60°，CN=2 3，CD= 3，所以DN=3．
在▵DMN中，DN=3，DM= 62，MN= 422，
由余弦定理得cs∠DMN=DM2+MN2−DN22DM⋅MN=64+424−92× 62× 422= 77，
即二面角F−EC−D的余弦值为 77．