辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了 已知向量，则的值为， 点关于平面对称的点的坐标是， 两平行直线之间的距离为， 向量，若，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则的值为（ ）
A. B. 14C. D. 4
【答案】B
【解析】．
故选：B.
2. 点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】点关于平面对称的点的坐标是.
故选：B.
3. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A. 内含B. 相切C. 相交D. 外离
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
则，故，所以两圆内含；
故选：A.
4. 两平行直线之间的距离为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】直线可化为，
直线可化为，
所以两平行直线之间的距离为.
故选：A.
5. 已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设设点D的坐标为，
由题意得
，
因为四边形是平行四边形，所以，
所以，解得，
故选：A.
6. 已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为方程表示一个焦点在轴上椭圆，
所以有，解得，所以实数的取值范围为，
故选：B.
7. 在直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，所以，
故．
设为平面的一个法向量，
则，
令，得．
设直线与平面，所成的角为，
则，
则．
故选：D．
8. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为，所以，由题意可得，
所以，则．
故选：BC.
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 是平面的一个法向量
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】对于A，由于，分别是的中点，
所以平面平面，
所以平面，故A正确；
对于B，，
故，，
故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误；
对于C，由，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，故C正确；
对于D，，点到平面的距离为，故D正确.
故选：ACD．
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（ ）
A.
B.
C. 当点不在轴上时，从点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为
D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】对于A，由椭圆方程得：F1-1,0，F21,0，所在直线为，
，A正确；
对于B，，，
，B正确；
对于C，设，Mx,y，则，
，即，，又在椭圆上，
，即点轨迹为，C正确；
对于D，由椭圆定义知：，，
（当且仅当三点共线时取等号，即位于图中点的位置时取等号），
，D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为__________.
【答案】
【解析】两平面的法向量分别为，
设两平面的夹角为，所以，
因为，所以，即两平面的夹角为.
13. 在空间直角坐标系中，点在平面内，且，为平面内任意一点，则______．
【答案】4
【解析】由题知，
根据可知，是平面的一个法向量，则，
所以，整理可得．
14. 在平面直角坐标系中，轴被圆心为的圆截得的弦长为，直线：与圆相交于，两点，点在直线上，且，那么圆的方程为________，的取值范围为_________．
【答案】
【解析】设圆的标准方程为，
因为轴被圆心为的圆截得的弦长为，
所以，可得，所以圆的方程为；
由直线与圆相交，有，解得或．由，，
可得直线与直线垂直，有，有，解得，
可得，又由或，，或，
由反比例函数的性质可得或，
所以的取值范围为.

四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 求符合下列条件的直线的方程：
（1）过点，且斜率为；
（2）过点，；
（3）过点且在两坐标轴上的截距相等．
解：（1）∵所求直线过点，且斜率为，∴，
即；
（2）∵所求直线过，，∴，
∴，即；
（3）当直线过原点时，设直线方程为，
∵直线过点，∴，直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入上式，得，解得，
故直线的方程为，
综上，直线方程为或．
16. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线的夹角的余弦值.
（1）证明：因是直三棱柱，则，
又因点分别为棱的中点，所以，
则四边形是平行四边形，所以，
又因平面平面，故平面；
（2）解：如图，因直三棱柱中，故可以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
于是，
设直线与直线的夹角为，则，
故直线与直线的夹角的余弦值为.
17. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
解：（1）直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为
直线AB的垂直平分线的方程为，整理为
联立方程，解得
由圆C的性质可知，圆心C的坐标为，可得圆C的半径为
故圆C的标准方程为
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线正好与圆C相切，
故此时直线l的方程为.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
整理为，
由直线l与圆C相切，有，解得，
可得直线l的方程为，
整理为，
故直线l的方程为或．
18. 已知椭圆C：的短轴长和焦距相等，长轴长是．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，原点O到直线l的距离为．点M在椭圆C上，且满足，求直线l的方程．
解：（1）设椭圆C的焦距为2c，
由题意有，解得，，，
故椭圆C的标准方程为；
（2）若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
此时满足的点M显然不在椭圆C上，可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，，
联立方程，消去y后整理为，
可得，，
由，可得，
又由，可得，，
将点M的坐标代入椭圆C的方程，有，
整理为，
又由原点O到直线l的距离为，有，可得，
联立方程，可得，
解得或或或，
又由，
可得直线l的方程为或或或．
19. 如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，.点是线段上的动点（不含端点）.
（1）当时，求的值；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
解：（1）如图，取中点，连接，，
因为，，所以，
在菱形中，，为中点，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以，
因为为中点，所以为中点，即；
（2）连接交于点，连接；交于点，
因为棱柱为直棱柱，且底面为菱形，
所以两两垂直，
所以为轴，建立空间直角坐标系，易解得，，
则，，，，，
所以，，，，
设，可解得，
则，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，，
取，则，取，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则.