四川省自贡市富顺第二中学校2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省自贡市富顺第二中学校2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“二十四节气”是中国古代农耕文化的产物，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.下面这四个节气印章图案分别是春分、夏至、秋分、冬至，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．流行性感冒病毒简称流感病毒.甲型流感病毒的直径是，将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．画的边上的高，下列画法中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，其中、为常数，则点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．
8．如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．当x是 时，在实数范围内有意义？
10．分解因式： .
11．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中， 度．
12．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
13．若，求 ．
14．如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是 ．
三、解答题
15．解决下列问题：
(1)计算：；
(2)在实数范围内分解因式：．
16．解方程：．
17．如图，是的边上一点，点在的延长线上，，过点作，并截取，连接．求证：．
18．已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形；
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_________；
(3)求出的面积；
(4)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
20．先化简分式，然后从中选取一个你认为合适的整数代入求值．
21．绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
22．图中是一副三角板，的三角板的直角顶点恰好在的三角板斜边上，，，，交于点，于．

(1)如图1，当经过点时，且，作于，求证：①是的中点，②；
(2)如图2，当时，交于，作于，若是中点，求证：．
23．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与；与；与
(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；
(3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分．
(1)A点的坐标为 ；的度数为 ．
(2)如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由．
(3)如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F．
①求D点的坐标；
②试判断与的数量关系，并说明理由．
《四川省自贡市富顺县富顺第二中学校2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题》参考答案
1．D
解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，符合题意．
故选D．
2．B
解：．
故选：B．
3．B
解：A、，则此项计算错误，不符合题意；
B、，则此项计算正确，符合题意；
C、，则此项计算错误，不符合题意；
D、，则此项计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．D
解：根据三角形高的定义可知，边上的高是从点C向作垂线，顶点C与垂足形成的线段，即如下所示：
故选：D．
5．A
解：，
，，
点的坐标是，
点关于轴的对称点的坐标为，
故选：A．
6．A
解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为，由题意得，
，
故选：A．
7．C
两边同乘以得：
解得
由题意得：
解得
是方程的增根
解得
综上，且
故选：C．
8．D
解：如图，过作于，作，交于，过作于，
，平分，
，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，④正确；
∵
∴
∵
∴
∴，故③错误，
，
，
，
平分，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，故⑤正确．
正确的结论有4个．
故选：D．
9．x≥-且x≠-1
解：依题意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，在实数范围内有意义．
故答案为：x≥-且x≠-1
10．
解：
故答案为：．
11．36
解：，是等腰三角形，
度，
故答案为：36．
12．14
解：如图所示，连接，，
∵直线垂直平分，
∴A，B关于直线对称，
∴，，
在中，
，
∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，
此时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值，
故答案为：14．
13．2025
解；有意义，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：2025．
14．0＜t＜或t＞6．
解：①过A作AP⊥BC时，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP＝，
∴当0＜t＜时，△ABP是钝角三角形；
②过A作P'A⊥AB时，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP'＝6，
∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形，
故答案为：0＜t＜或t＞6．
15．(1)
(2)
（1）解：原式，
，
；
（2）解：
16．原方程无解．
方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得：
7（x﹣1）+3（x+1）=6x，
解得：x=1．
经检验：x=1是增根，
∴此方程无解．
点睛：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
17．见解析
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
​,
∴（），
∴．
18．
解：由数轴上点的位置关系，得，，
，，，
，
，
19．(1)见解析；
(2)；
(3)4；
(4)见解析．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）点C关于y轴的对称点的坐标为；
故答案为：；
（3）；
（4）如图，点P即为所求．
20．，， （或x=3， -1）
化简
=
=，
由题意得，
当时，原式=
当x=3时，原式=-1（求一个值即可）
21．(1)乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元
(2)共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件
（1）解：设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
（2）解：设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件，
由题意得，
解得：．
为整数，
或25，
共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：①，
，
，
是等边三角形．
，
，
，
，
，
，
是的中点；
②，
，
，
，
，
，
是等边三角形．，
．
，
；
（2）证明：如图，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
又，，
，
，
，
．
23．(1)；
(2)它们的“对消值”为；
(3)代数式的最小值是．
（1）∵，
,
，
∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为：；
（2），，
∵与互为“对消多项式”，
，，
，，
∴它们的“对消值”为；
（3），，
，
∵与互为“对消多项式”且“对消值”为，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴代数式的最小值是．
24．(1)，；
(2)，；
(3)①；②．
（1）解：，
，
，
，，
，
，
故答案为：，；

（2）解：设与轴的交点为，与轴的交点为，
，
，
，
，，
，
，，
，
， ，
，
，
，
，
；
（3）解：①由（2）可知，，过点作轴交轴于，
，，
，
，
，
，，
点的坐标为，
，，
；
②延长交于点，
，
，
，，
，
，，
平分，
，
，，
，
，
．