广东省清远市2024-2025学年高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省清远市2024-2025学年高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】因为每枚硬币都有正、反两种结果，所以将1枚硬币抛2次，
一共可能出现4种结果：正正，正反，反正，反反，
其中恰好出现1次正面的结果有2种结果：正反，反正；
所以恰好出现1次正面的概率为.
故选：A.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为，
因为直线，可得斜率，即
又因为，所以.
故选：C.
3. 已知空间向量，若共面，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因为若共面，则，即，
故，解得
故选:B.
4. 已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，设直线的方程为且.
因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离.
由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）.
所以直线的方程为.
故选：D.
5. 已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心.
则以为直径的圆的圆心为，设以为直径的圆的半径为，
则.
所以以为直径的圆的方程为.
过点作圆的切点分别为，,
两圆的交点为,,即两圆的公共弦为.
将两圆的方程相减可得直线的方程为，
即.令得.
所以直线必过定点.
故选：A.
6. 若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ）
A. 2B. 5C. D.
【答案】C
【解析】直线平分圆，则直线过圆心，即，
所以(当且仅当时，取等号)
故选：C.
7. 在平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，有，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】令，设，
由，
等号两边分别平方得：，
即，
整理得，
解得（或舍去），
即.
故选：A.
8. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆和圆关于直线对称
B. 圆和圆的公共弦长为
C. 的取值范围为
D. 若为直线上的动点，则的最小值为
【答案】D
【解析】对于A，和圆，
圆心和半径分别是，
则两圆心中点为，
若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，
但两圆心中点不在直线上，故A错误；
对于B，到直线的距离，
故公共弦长为，B错误；
对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小，
当四点共线时，的值最大为，
故的取值范围为，C错误；
对于D，如图，设关于直线对称点为，

则解得
即关于直线对称点为，
连接交直线于点，此时最小，
，
即的最小值为，D正确.
故选：D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙两人各投篮一次，若两人投中的概率都是0.6，且两人是否投中彼此互不影响，则下列判断正确的是（ ）
A. 两人都投中的概率是0.36
B. 恰有一人投中的概率是0.48
C. 至少有一人投中的概率是0.86
D. 至多有一人投中的概率是0.64
【答案】ABD
【解析】设事件为“甲投中”，设事件为“乙投中”，则事件A、B相互独立
都投中的概率为，故A正确；
恰好有一人投中的概率为，故B正确；
至少有一人投中，其对立事件为两人都未投中，
故至少一人投中的概率为，故C错误；
至多有一人投中的对立事件为两人都投中，
故至多有一人投中的概率为，故D正确.
故选:ABD.
10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，圆与圆相离
B. 当时，是圆与圆的一条公切线
C. 当时，圆与圆有一条公切线是
D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
【答案】ACD
【解析】由可知圆心为，半径为1，
由可知圆心为，
半径为，两圆圆心距为，
对于A，当时，，圆与圆相离，故A正确；
对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为3，
即与圆不相切，所以不是圆与圆的一条公切线，故B错误；
对于C，当时，，圆与圆外切，公切线有三种情况：
①易知公切线的方程为.
②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线对称.
易知过两圆圆心的直线的方程为，由，得，
由对称性可知公切线过点，
设公切线的方程为，则点O0,0到的距离为1，
所以，解得，所以公切线的方程为，
即.
③还有一条公切线与直线垂直，设公切线的方程为，
易知，则点O0,0到的距离为1，
所以，解得或（舍去），
所以公切线的方程为，即.
综上，所求直线方程为或或，故C正确；
对于D，当时，，此时两圆相交，
圆的一般方程为，
与圆的方程相减可得，
故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. ，使
B. 线段存在最小值，最小值为
C. 直线与平面所成的角恒为45°
D. ，都存在过且与平面平行的平面
【答案】AD
【解析】因为四边形正方形，故，
而平面平面，平面平面，
平面，故平面，而平面，故.
设，则，其中，
由题设可得，
，
对于A，当即时，，故A正确；
对于B， ，
故，当且仅当即时等号成立，故，故B错误；
对于C，由B的分析可得，
而平面的法向量为且，
故，此值不是常数，
故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误；
对于D，由B的分析可得，故为共面向量，
而平面，故平面，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知A，B，C三点共线，则对空间任一点，存在三个不全为0的实数a，b，c使，那么的值为________________.
【答案】0
【解析】因三点共线，则存在唯一实数使，显然且，
否则点重合或点重合，则，
整理得，存在三个不为0的实数，
使，此时.
13. 已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为______.
【答案】
【解析】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2，故要使圆上恰有3个点到l的距离为1，则圆心到直线l的距离为1，即．
14. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】当时，曲线为（），
表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆；
当时，曲线为（），
表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆；
所以曲线的图像如图所示：
当直线位于与之间或与之间时，
直线与曲线有两个不同的交点，
当直线位于时，直线与圆相切，则，解得；
当直线位于时，；
直线位于与之间时，.
同理可得，直线位于与之间时，.
综上，实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；
②直线的一个方向向量为；
③与直线平行．
已知直线l过点，_________________．
（1）求直线l的一般方程；
（2）若直线l与圆相交于P，Q，求弦长．
解：（1）选①：因为直线的斜率为，
因为直线与直线l垂直，
所以直线l的斜率为，
依题意，直线l的方程为即.
选②：因为直线的一个方向向量为
所以直线l的向量为，
依题意，直线l的方程为
即.
选③：因为的斜率为，
又因为直线l与平行，
所以直线l的斜率为，
依题意，直线l的方程为即.
（2）圆的圆心到直线的距离为,
所以.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，底面ABCD，点为棱PC的中点，.
（1）证明:平面PAD;
（2）求点E到直线CD的距离;
（3）求直线BE与平面PDC所成角的余弦值.
（1）证明：取PD的中点，连接AG，EG，如图.
和分别为PD和PC的中点，
，且，
又底面ABCD是直角梯形，，
且.即四边形ABEG为平行四边形，
，
平面平面PAD，
平面PAD.
（2）解：因为，所以，
因为底面ABCD，所以，又AD，PA为平面PAD内两条相交直线，
所以平面PAD，又PD在平面PAD内，所以，
因为为PC的中点，所以点到直线CD的距离为，
因为，所以，
所以到直线CD的距离为.
（3）解：由（1）知，因为为PD的中点，所以
由(2)知平面PAD，平面PAD，所以，
PD，CD为平面PCD内两条相交直线，所以平面，所以平面
所以BE与平面PCD所成角为90°，其余弦值为0.
17. 甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出.已知每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立.
（1）求一轮中三人全部回答正确的概率；
（2）记为甲在第轮胜出的概率，为乙在第轮胜出的概率，求与，并比较与的大小.
解：（1）设“一轮中三人全部回答正确”为事件M，则.
（2）甲在第一轮胜出的概率为.
甲在第二轮胜出，说明第一轮、第二轮中三人都回答正确，第三轮中丙回答错误，
故甲在第二轮胜出的概率为.
易知
所以当时，;当时，;
当时，.
同理可得，当时，；
当时，；当时，.
所以当时，；当时，；
当时，.
18. 如图，直三棱柱的体积为的面积为.
（1）求到平面的距离；
（2）设为中点，，平面平面.
（i）证明：平面;
（ii）求二面角的正弦值.
（1）解：在直三棱柱中，设点到平面距离为，
则，
解得，所以点到平面的距离为.
（2）（i）证明：取的中点，连接AE，如图，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面平面ABC，可得，
又平面且相交，所以平面.
（ii）解：由（i）可知:两两垂直，
以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由（1）得，所以，所以，
则，所以的中点，
则，
设平面ABD的一个法向量，则，
令，可得，
设平面BDC的一个法向量，则，
令，可得，
则，
所以二面角的正弦值为.
19. 已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于.
（1）求实数的取值范围;
（2）若，用含的式子表示四边形的面积;
（3）当时，若直线AD和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程.
解：（1）圆圆心为O0,0，半径为，
因为直线与圆交于，两点，
所以圆心O0,0到直线的距离，
解得，
所以实数的取值范围为；
（2）当时，设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
由，消元整理得，
所以，，，
所以，
因为四边形为直角梯形，
所以四边形的面积
；
（3）由Ax1,y1，Bx2,y2，则，，且直线、的斜率存在，
当时，由（2）知，，，，，
所以直线方程为，直线的方程为，
因为、相交，所以，即，，
所以，解得，
联立、的方程得，
，
，
所以，
所以点在定直线上运动.