广东省清远市2024-2025学年高二下学期期中联合学业质量监测考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省清远市2024-2025学年高二下学期期中联合学业质量监测考试数学试卷（解析版），共14页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某物体沿直线运动,位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
当时，，
即该物体在时的瞬时速度是.
故选：D.
2. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，
则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：
.
故选：D.
3. 某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查,拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生,已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，美术组要抽取的学生数为，
音乐组要抽取的学生数为，
舞蹈组要抽取的学生数为，
由分步乘法计数原理可知，不同的抽样结果.
故选:C.
4. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】C
【解析】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，
它的展开式共计有9项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得在的展开式中的系数为，
故选：C．
5. 已知随机变量的分布是，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，解得，
．
．
故选：C．
6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数，
所以，则为偶函数，
当时，又因为,且恒成立，
则，所以在时单增,
综上可得等价于,即或,解得
故选:C
7. 现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法；
若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；②用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为.
故选：C
8. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有2个零点
B. 当时，存在增区间
C. 若只有一个极值点，则或
D. 当时，对任意实数t，总存在实数，，使得
【答案】D
【解析】对于A，当时，，令，得，
令，则，所以在R上单调递增，
所以至多有一个零点，即方程至多有一个根，故A错误；
对于B，，
令，得，设，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，又当时，，所以恒成立，
即时，是减函数，故B错误；
对于C，当时，由B知，，即，所以，
所以在R上单调递减，无极值，故C错误；
对于D，当时，，，由切线放缩知，
，即在R上单调递减，当时，，当时，，
可得大致图象如下：
由图可知对任意实数，总存在实数，使得，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有60种
C. 过三棱柱任意两顶点的直线中，异面直线共有36对
D. 用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为252
【答案】BCD
【解析】对A，由，则或，
解得或，故A错误；
对B，从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有种，故B正确；
对C，三棱柱有六个顶，可组成个四面体，而每个四面体有3对异面直线，则共有对，故C正确；
对D，根据分步计数原理可知用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成三位数的个数为，其中没有重复数字的三位数的个数为，
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为，故D正确.
故选：BCD
10. 设N为正整数，在平面直角坐标系中，若（，，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的可能取值为（ ）
A. 6B. 8C. 7D. 5
【答案】AC
【解析】若（，，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，
设有z个不同的值，则,解得,
根据其对称性可知，当或时满足，
故选:AC
11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B. 第二次抽到3号球的概率为
C. 如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
【答案】AB
【解析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，
则有，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，
因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；
对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，
记第二次抽到3号球事件为，
，B正确；
对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到1号球的事件为，
，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
，，
，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知X服从参数为0.3的两点分布，则________；若，则________.
【答案】0.7；0.3
【解析】因为服从参数为0.3的两点分布，
所以， .
当时，，所以.
故答案为：0.7，0.3
13. 为确保学生身心健康，全面发展，高中课程内容覆盖学科教学、体育、艺术等类别，我校按照教育部的指导，安排上午四节课，下午三节课，现在安排我班一天中语文、英语、物理、政治、体育各一节，数学两节，要求两节数学课都排在上午或下午、且连续，体育课排在下午，则不同的排法有________种．
【答案】264
【解析】（1）若两节数学排在下午，有两种情况，1,2节或2,3节，剩下一节对应体育，
第二步，上午4节课全排列即可，有，故共有种，
（2）若两节数学排在上午，有1,2或2,3或3,4，共3种排法，
第二步，排体育，易知有3种排法，
第三步，剩下4节课，全排列，有，故共有，
所以共有种，
故答案为：264
14. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图所示，（百米），建立如图所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为______.
【答案】
【解析】由图象可知：图象过点，即，解得：，
；
由，得：直线方程为：；
设，则，，
则直角梯形的面积；
令，则，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
，
即图书馆占地面积（万平方米）的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有二项式系数的和；
（3）求展开式中所有的有理项．
解：（1）的展开式的通项为（r＝0，1，2，…，n），
∵展开式中的第二项和第三项的系数相等，
∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；
（2）展开式中所有二项式系数的和为；
（3）二项式展开式的通项为（r＝0，1，2，…，5），
当r＝0，2，4时，对应项有理项，
所以展开式中所有的有理项为，，．
16. 已知在时有极值0．
（1）求常数a、b及的图象在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
解：（1）因为，又在时有极值0，
则，解得或，
当时，恒成立，则无极值，不合题意；
当时，，
当或时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
所以是的极小值点，合题意.
所以，故，，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由（1），，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，
所以函数在区间上的最大值为112，最小值为0.
17. 计算机二级资格证考试包括语言程序设计、数据库程序设计和办公软件高级应用三类科目，每年可以考3次，分别在3月、5月和9月进行，一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立．
（1）求李明在一年内领到计算机二级资格证书的概率；
（2）求李明在一年内参加考试次数X的分布列及期望；
（3）已知每次考试报名费用为200元，求李明一年内参加考试花费的费用Y的期望．
解：（1）由题，李明在一年内领到计算机二级资格证书分3种情况，第一次领证，第二次领证，第三次领证，
所以概率为.
（2）的取值分别是，
，，，
所以李明参加考试次数的分布列为：
.
（3）已知每次考试报名费用为200元，考试次数为，则花费的费用，
所以元.
所以李明一年内参加考试花费的费用的期望为元.
18. 袋中有20个大小相同的球，其中标记上0号的有10个，标记上号的有n个．现从袋中任取一球，用表示所取球的标号．
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，，，试求a，b的值；
（3）若每次取球后不放回，先取一个球记标号为X，再取一个球记标号为Y，求Y的标号大于1的概率．
解：（1）的可能取值为
则，，
，
，，
则分布列为：
则，
．
（2）由（1）可知，，，且，
由期望以及方差的性质可得，，
即，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以或.
（3）记事件表示的标号大于，
由（1）可知，当时，此时袋中还剩个球，
其中标号大于的有个，所以，
，当时，此时袋中还剩个球，
其中标号大于的有个，所以，
，
当时，此时袋中还剩个球，
其中标号大于的有个，则，
所以
.
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）是否存在x使得成立？若存在，求x的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若方程有两个不同的实数解，证明：．
解：（1）首先对函数求导，可得：
，函数的定义域为，
令，即，因为，则，解得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
综上所得，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由前面知道，最大值为，要使能成立，则只能，即，则，有前面讨论，知道函数的单调递增区间是，单调递减区间是.则.
（3）由，得，
若有两个不同的实数解，则，
两式相减得，所以．
不妨设，则，
所以在上单调递增，此时，所以．
所以，即，所以①．
由，得有两个不同的实数解，
令，
当时单调递增，当时单调递减，
由，，所以．
令，则方程有两个不同的实数解．
由前面（1）（2）知，则有．
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
此时，即，故，当且仅当时等号成立．
不妨设直线与直线交点的横坐标分别为，

则，
所以②．
综上，．
1
2
3