人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直学案，共50页。学案主要包含了即学即练1等内容，欢迎下载使用。

知识点01：异面直线所成角的概念
已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线 QUOTE a' 与 QUOTE b' 所成的
角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
知识点02：异面直线所成角的范围
由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即.
注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是.
知识点3：两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，
记作.
注意：两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
知识点04：异面直线所成的角的求解步骤
①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.
②证明：证明作出的角就是要求的角
③计算：求角度（常利用三角形的有关知识）
④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就
是所求异面直线所成的角.
【即学即练1】（2024上·上海·高二专题练习）已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是 ．
【答案】
【详解】
如图，取中点，连接，，
∵，分别为，中点，
∴，且，
∴异面直线和所成角为或其补角，
在等边和等边中，，
∴在中，由余弦定理，有
，
∴异面直线和所成的角的余弦值为.
故答案为：.
题型01 判断两直线是否为异面直线
【典例1】（2024上·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
【典例2】（2024上·北京海淀·高二统考期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 .
①②③④
【变式1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ．
【变式3】（2023上·上海·高二校考期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条.
题型02 求异面直线所成的角
【典例1】（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（ ）
A．1B．C．1或2D．2或
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
【变式1】（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）在长方体中，，则异面直线的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 .
题型03证明异面直线垂直
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，对棱，E，F，G，H是它们所在棱的中点，求证：四边形EFGH是矩形．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.
题型04异面直线公垂线问题
【典例1】（2023上·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且（称为异面直线的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．

【典例2】（2023上·高二课时练习）（1）已知正方体的棱长为a，则异面直线与AD公垂线是 ．
（2）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ．
（3）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是 ．
（4）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ．
【变式1】（2023上·高二课时练习）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线.
题型04根据异面直线所成角求参数
【典例1】（2024上·四川内江·高二统考期末）如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例2】（2023上·广西南宁·高二南宁三中校联考期中）如图，由矩形与矩形构成的二面角为直二面角，为中点，若与所成角为，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
【典例3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
(1)求证：平面；
(2)若直线与所成的角大小为，求的长．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（ ）
A．B．C．5D．
题型05与已知直线成角的直线条数问题
【典例1】（2023上·上海奉贤·高二校联考期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2】（2024上·上海·高二专题练习）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有n条直线与a，b所成的角相等且等于45°，则n＝ ．
【典例3】（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 .
【变式1】（2023上·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式2】（2023下·上海·高二专题练习）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 .
【变式3】（2023·上海·高二专题练习）已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是 .
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2012·北京·统考一模）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（ ）
A．一定平行B．一定垂直
C．一定是异面直线D．一定相交
2．（2019上·山西朔州·高二阶段练习）如图，在直三棱柱中，D为的中点，
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是
A．与平行B．与为异面直线
C．与成60°角D．与垂直
10．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）．

A．存在某个位置，使得CN⊥AB1；
B．翻折过程中，CN的长是定值；
C．若AB＝BM，则AM⊥B1D；
D．若AB＝BM＝1；当三棱锥B1－AMD的体积最大时；三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π．
三、填空题
11．（2023下·全国·高一专题练习）已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有 条．
12．（2023·全国·高一专题练习）平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为 .
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
14．（2023上·上海宝山·高二校考阶段练习）在直三棱柱中，，，，、分别为棱、的中点．
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)求三棱锥的全面积.
B能力提升
1．（2023·高二单元测试）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．C．D．
3．（多选）（2023下·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球半径为
D．异面直线与所成角的余弦值为
4．（多选）（2023下·广东深圳·高一深圳市龙华中学校考期中）（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线与所成的角为
5．（2023下·全国·高一专题练习）如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
第11讲 8.6.1 直线与直线垂直
知识点01：异面直线所成角的概念
已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线 QUOTE a' 与 QUOTE b' 所成的
角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
知识点02：异面直线所成角的范围
由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即.
注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是.
知识点3：两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，
记作.
注意：两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
知识点04：异面直线所成的角的求解步骤
①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.
②证明：证明作出的角就是要求的角
③计算：求角度（常利用三角形的有关知识）
④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就
是所求异面直线所成的角.
【即学即练1】（2024上·上海·高二专题练习）已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是 ．
【答案】
【详解】
如图，取中点，连接，，
∵，分别为，中点，
∴，且，
∴异面直线和所成角为或其补角，
在等边和等边中，，
∴在中，由余弦定理，有
，
∴异面直线和所成的角的余弦值为.
故答案为：.
题型01 判断两直线是否为异面直线
【典例1】（2024上·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
【答案】A
【详解】∵A、M、三点共面，且在平面，但平面，，
∴直线AM与是异面直线，故①错误；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线BN与是异面直线，故③正确；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线AM与是异面直线，故④正确．
故选：A．
【典例2】（2024上·北京海淀·高二统考期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
【答案】异面
【详解】假设直线共面，平面，
由，则平面，
同理，平面，故共面，
这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面.
故答案为：异面.
【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 .
①②③④
【答案】②
【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，
而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意；
因为，即共面，易知平面，而平面， ，，
故与异面，故②符合题意；
当重合时，易知，则四边形是平行四边形，
则此时，故③不符合题意；
当重合时，显然，相交，故④不符合题意.
故答案为：②
【变式1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可知：、与相交，与平行，与异面，
故ABD错误，C正确.
故选：C.
【变式2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ．
【答案】异面
【详解】如图所示：
由题意在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是异面，理由如下：
若直线与直线共面，则四点共面，
而三点唯一确定平面，
但平面，产生矛盾，故假设不成立，
综上所述，直线与直线的位置关系是异面.
故答案为：异面.
【变式3】（2023上·上海·高二校考期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条.
【答案】6
【详解】在正方体中的12条棱所在直线中，
与直线相交的棱所在直线有，共6条，
其余6条棱所在直线与直线是异面直线，

所以与直线是异面直线的共有6条.
故答案为：6
题型02 求异面直线所成的角
【典例1】（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接，
则，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角是异面直线与所成角，
设正方体棱长为2，则，
在等腰中，是中点，所以，
所以，
即异面直线与所成角的正弦值为.
故选：C
【典例2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（ ）
A．1B．C．1或2D．2或
【答案】D
【详解】如图，过点作平面于点，则是母线，
连接底面，，
则四边形是平行四边形，，
与所成的角就是或其补角．
当时，是等边三角形，，
在中，；
当时，在中，，
在中，．
综上，或.
故选：D．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
【答案】
【详解】连接，，，取中点，连接，，
∵四边形，为矩形，∴，，
平面平面，平面，平面，
∴即为二面角的平面角，∴，
又，，∴，∴为等边三角形，∴；
∵，分别为，中点，∴，，
∴（或其补角）即为异面直线与所成角，
∵，∴，
∴，
所以异面直线与所成角的正弦值为．
故答案为：．
【变式1】（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）在长方体中，，则异面直线的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】连接，,根据正方体,得到
所以异面直线的夹角为的夹角,
又,,所以,,
则,
则异面直线的夹角的余弦值为.

故选：B
【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，所以异面直线与所成角为或其补角，
又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱，
所以，
所以，
故选：A.
【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【详解】设平面平面，因为平面，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以，，
因为平面平面，且平面平面，
同理可证，异面直线与所成的角即所成的
在正四棱柱中，底面是正方形，且，
，，
，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故答案为：.
题型03证明异面直线垂直
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，对棱，E，F，G，H是它们所在棱的中点，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】证明见解析
【详解】如图，EF，HG分别是和的中位线，
∴，所以，
∴四边形EFGH是平行四边形，又EH是的中位线，∴，
故是异面直线AD与BC所成的角或其补角，∵，∴，∴，因此四边形EFGH是矩形．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．
因为E是AB的中点，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，
所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.
【答案】证明见解析
【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.
【答案】证明见解析
【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.
题型04异面直线公垂线问题
【典例1】（2023上·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且（称为异面直线的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．

【答案】或
【详解】如图构造一直三棱锥，使，则由题有： .
在中，由余弦定理，可得，
则；

如图构造一直三棱锥，使，则由题有： .
在中，由余弦定理，可得，
则.

故答案为：或.
【典例2】（2023上·高二课时练习）（1）已知正方体的棱长为a，则异面直线与AD公垂线是 ．
（2）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ．
（3）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是 ．
（4）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ．
【答案】 / / /
【详解】解：由正方体的性质可知，，
是异面直线与的公垂线，
因为，，所以是异面直线与的公垂线，
所以异面直线与的距离等于；
，平面，
面，，
是异面直线与的公垂线，
如图取的中点，的中点，的中点，的中点，
连接交于点，连接、、、、、、、，
由正方体的性质可知是正方体的中心，即为的中点，且平面，
又平面，所以，
又，所以，所以为异面直线与的公垂线，，
所以异面直线与距离为；
故答案为：；；；；
【变式1】（2023上·高二课时练习）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．
【答案】
【详解】解：因为异面直线a，b所成的角为，
则与得夹角为或，则，
由，
得，
即，
所以，
即公垂线.
故答案为：.
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线.
【答案】证明见解析
【详解】设，，，
则，且、、三向量两两夹角均为60°，
，
，
则MN⊥AB，同理可证MN⊥CD，
故MN为AB与CD的公垂线.
题型04根据异面直线所成角求参数
【典例1】（2024上·四川内江·高二统考期末）如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】取的中点，连接，，如图，
则，，
（或其补角）即异面直线与所成的角，
，，，
.
故选：C.
【典例2】（2023上·广西南宁·高二南宁三中校联考期中）如图，由矩形与矩形构成的二面角为直二面角，为中点，若与所成角为，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【详解】取的中点，连接，如图，
矩形中，为中点，则，即四边形是平行四边形，
有，因此是直线与所成的角或其补角，
显然，则是二面角的平面角，有，
即有，而平面，于是平面，平面，
则，由，得，令，则，
在中，由余弦定理得，
解得，所以.
故选：D
【典例3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
(1)求证：平面；
(2)若直线与所成的角大小为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1） 平面，平面，
，
又底面为正方形，则
且，平面，
平面．
（2）平面，
，为锐角，
又 ，
为直线与所成的角，
，在中，，
，
在中，，，于是．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，作，则.
为中点，是的中位线，则，
则是异面直线与所成的角.
当与在平面里的投影重合时，最小，
设平面，易知为等边的重心，连接
并延长，交于点，作交于点.
.
设正四面体的棱长为，则，
.
在中，为重心，.
又，则
在中，设，
，
.
故选：C.
【变式2】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】BD
【详解】
取中点，连接，，
因为，分别为，的中点，，，
所以，，，，
所以异面直线与所成角与直线和所成角相等，即或，
当时，根据余弦定理得，，解得；
当时，根据余弦定理得，，解得.
故答案为：BD.
题型05与已知直线成角的直线条数问题
【典例1】（2023上·上海奉贤·高二校联考期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】在空间取一点，经过点分别作，
设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，
与所成的角等于与所成的角，
因为直线，所成的角为，得所成锐角等于，
所以当射影在所成锐角的平分线上时，
与所成角的范围是.
这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，
当的射影在所成钝角的平分线上时，
与所成角的范围是.
这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，
综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条.
故选：D.
【典例2】（2024上·上海·高二专题练习）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有n条直线与a，b所成的角相等且等于45°，则n＝ ．
【答案】2
【详解】解：如图：
先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE＝80°，∠EPD＝100°，
而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为40°，
而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为50°，
因为45°＞40°，45°＜50°，
所以直线与a，b所成角相等且等于45°有且只有两条，
且直线在面PBE的射影为∠BPE的角平分线，
故答案为：2．
【典例3】（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 .
【答案】
【详解】解：分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示，
设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为，
因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为，
所以，当直线经过点且直线在直线所在平面，垂直于直线时，直线与直线所成角相等，为时，成角为，即；
当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等，且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有两条，
所以，，解得.
所以，过空间定点与、成角的直线共有3条时，.
故答案为：
【变式1】（2023上·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】C
【详解】如图：

通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意，,,
而的角平分线与a和b的所成角为，
的角平分线与a和b的所成角为，
因为，所以直线l和a，b所成角均为的直线有4条，
其中直线l在平面BPE的射影为的角平分线时存在2条直线满足条件，
当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时存在2条满足条件，故共4条.
故选：C.
【变式2】（2023下·上海·高二专题练习）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 .
【答案】2
【详解】设立方体的棱长为1，过作直线，
若直线与平面中的直线所成角的最小值为，
即与平面所成角为，
为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，
连接，由题意得，直线与直线所成角为，
直线与直线所成角为.
此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，
两个圆锥相交得到两条交线.
故答案为：2
【变式3】（2023·上海·高二专题练习）已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】将直线平移交于点，设平移后的直线为，
过点作及其外角的角平分线，则；
在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线有两条，则；
在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线不存在，则；
综上所述：.
故答案为：.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2012·北京·统考一模）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（ ）
A．一定平行B．一定垂直
C．一定是异面直线D．一定相交
【答案】B
【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.
【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c.
故选：B.
2．（2019上·山西朔州·高二阶段练习）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可.
【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.
由条件知：，则，
故选：C.
3．（2017上·陕西西安·高一西安中学校考期末）在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】根据题意，求异面直线所成角，找到平行线，转化成平面角，即可求解.
【详解】由题意，作正方体，如下图所示：

连接，，
∴异面直线与即所成的角为.
由题可得为等边三角形，.
∴异面直线与所成的角为60°.
故选：C.
4．（2014·全国·高三专题练习）如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与
A．互相平行B．异面且互相垂直C．异面且夹角为D．相交且夹角为
【答案】D
【分析】先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.
【详解】
将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.
故选D.
5．（2019上·青海西宁·高二西宁四中阶段练习）设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线( )
A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条
【答案】A
【分析】利用模型圆锥即可得到答案.
【详解】过点P且与成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.
故选A
6．（2023下·陕西安康·高二统考期末）在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点，直线与直线所成的角为，在中求其正切值即可.
【详解】如图，取的中点，连接，，则且
故直线与直线所成的角为.
因为面，面，所以，，
设，，则.

故选：A
7．（2023下·辽宁·高一校联考期末）在直三棱柱中，，，为四边形的中心，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，延长至点，使，延长至点，使，连接，，
易证，则异面直线与的夹角为，过作，垂足为，
交于，
连接，，，由余弦定理得，
，所以，，
易得，所以.

故选：C
8．（2023下·全国·高一专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解三角形得出答案.
【详解】提示：如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且.
所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角）.
由题意，可得，
所以，，
.
在中，由余弦定理，可得：，即.
故选A.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是
A．与平行B．与为异面直线
C．与成60°角D．与垂直
【答案】BCD
【分析】首先由平面展开图还原几何体，在几何体中判断线与线的位置关系，直接判断选项，再根据线面垂直判断线线的位置关系.
【详解】如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A不正确；
与为异面直线，B正确；
,，而，,
与成60°角，C正确；
连接，，
平面,
,
又
与垂直,
D正确.
故选：BCD
10．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）．

A．存在某个位置，使得CN⊥AB1；
B．翻折过程中，CN的长是定值；
C．若AB＝BM，则AM⊥B1D；
D．若AB＝BM＝1；当三棱锥B1－AMD的体积最大时；三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π．
【答案】BD
【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，如图1，

则，如果CN⊥AB1，则EN⊥CN，
由于AB1⊥MB1，则EN⊥NF，由于三线NE，NF，NC共面且共点，
故这是不可能的，故不正确；
对于B，如图1，由∠NEC＝∠MAB1，
且，AM＝EC，∴在△CEN中，由余弦定理得：
，也是定值，
故NC是定值，故B正确；
对于C，如图2

取AM中点为O，∵AB＝BM．即AB1＝B1M．则AM⊥B1O，
若AM⊥B1D，由于，且平面，
∴AM⊥平面，平面，∴OD⊥AM，则AD＝MD，
由于，故AM⊥B1D不成立，故不正确，
对于D，根据题意知，只有当平面B1AM⊥平面AMD时，
三棱锥B1—AMD的体积最大，取AD的中点为E，
连接OE，B1E，ME，如图2，
∵AB＝BM＝1，则AB1＝B1M＝1，且AB1⊥B1M，平面平面AMD＝AM
∴B1O⊥AM，平面B1AM，∴B1O⊥平面AMD，平面AMD．∴B1O⊥O E，
则，，，从而，
易知，∴AD的中点E就是三棱锥B1－AMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是，故D正确；
故选：BD．
三、填空题
11．（2023下·全国·高一专题练习）已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有 条．
【答案】2
【分析】结合异面直线成角作出图形分析即可求出结果.
【详解】可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，
则，则的角平分线与直线a，b所成的角均为，的角平分线与直线a，b所成的角均为，因为，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条（直线），
故答案为：2.
12．（2023·全国·高一专题练习）平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件画出图形，再利用异面直线所成角的定义及解三角形即可求解.
【详解】由题意可知，延长与平面交于点，延长与平面交于点，连接，即平面所在平面为平面，如图所示
因为平面平面，平面平面，又，
所以.
同理可证,
所以所成角的大小与所成角的大小相等，
在正方体中，，
所以是等边三角形，
所以所成角就是,
所以所成角的正弦值为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
【答案】60°
【详解】
如图，取AC的中点G，连接EG，FG.
因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，
则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.
因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.
单独看△GEF的平面图，可得
在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H，
在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝，
所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°.
所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.
14．（2023上·上海宝山·高二校考阶段练习）在直三棱柱中，，，，、分别为棱、的中点．
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)求三棱锥的全面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
连接，因为、分别为棱、的中点，
故为的中位线，故，
故异面直线与所成角的大小即为,
因为，，，
故，，
则，
，
则，
即，
即异面直线与所成角的正切值为；
（2）连接、、，
因为、，，
、平面，
所以平面，又平面,
故，又，
故，
又，，
则，
，
，
，
故三棱锥的全面积.
B能力提升
1．（2023·高二单元测试）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球半径为
D．异面直线与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【详解】将三棱锥补形为长方体如下：其中，，
所以，，
连接，
因为，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又四边形为正方形，所以，
所以，A对；
长方体的体积，
三棱锥的体积，三棱锥的体积，三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积，B对，
为长方体的外接球的直径，，
所以长方体的外接球的半径为，长方体的外接球也是三棱锥外接球，
所以三棱锥外接球的半径为；C错；
连接，交于，
因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角），
由已知，，,
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，D对，
故选：ABD.
4．（多选）（2023下·广东深圳·高一深圳市龙华中学校考期中）（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【详解】解：因为截面是正方形 ，所以，
又平面，平面
所以平面
又平面,平面平面
所以
因为截面，截面，
所以截面，故B正确
同理可证
因为，所以，故A正确
又
所以异面直线与所成的角为，故D正确
和 不一定相等，故C错误
故选：ABD
5．（2023下·全国·高一专题练习）如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【详解】如图，
取的中点，劣弧的中点，的中点，连接、，
易知，,，则异面直线与所成的角是或其补角.
连接，，，易得，不妨设，则，，，
，
则，
在中，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
课程标准
学习目标
①借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系。
②.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角。
1、本节内容包含异面直线所成的角的定义，以及直线与直线垂直教材以正方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线所成的角的定义通过平移来研究异面直线所成的角是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题
2.通过本节课的学习，为学生后面学习空间直线、平面的垂直关系打下基础，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养
课程标准
学习目标
①借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系。
②.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角。
1、本节内容包含异面直线所成的角的定义，以及直线与直线垂直教材以正方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线所成的角的定义通过平移来研究异面直线所成的角是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题
2.通过本节课的学习，为学生后面学习空间直线、平面的垂直关系打下基础，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养