2023年高考数学一轮复习《椭圆》课时练习基础练（2份打包，教师版+原卷版）

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一、选择题
已知三点P(5,2)，F1(﹣6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案解析】答案为：B；
解析：因为点P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝eq \r(5)，|PF1|＝5eq \r(5)，所以2a＝6eq \r(5)，即a＝3eq \r(5)，c＝6，则b＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.
与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B.x2＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
【答案解析】答案为：B；
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，则c＝eq \r(5).
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)＝1.
已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1的焦点坐标为( )
A.(±eq \r(3)，0) B.(0，±eq \r(3))
C.(±eq \r(3)，0)或(±eq \r(5)，0) D.(0，±eq \r(3))或(±eq \r(5)，0)
【答案解析】答案为：B
解析：因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，
所以圆锥曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1即为椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1，易知其焦点坐标为(0，±eq \r(3))，故选B.
设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A.5 B.4 C.3 D. 1
【答案解析】答案为：B
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(5)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2eq \r(5))2可知，△F1PF2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×4×2＝4，故选B.
如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞)
B.(﹣∞，﹣2)
C.(3，＋∞)∪(﹣∞，﹣2)
D.(3，＋∞)∪(﹣6，﹣2)
【答案解析】答案为：D
解析：本题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆方程的特征.由于椭圆的焦点在x轴上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2>a＋6，,a＋6>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2a－3>0，,a>－6.))解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2，故选D.
若方程eq \f(x2,m＋9)＋eq \f(y2,25－m)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.﹣9＜m＜25 B.8＜m＜25 C.16＜m＜25 D. m＞8
【答案解析】答案为：B
解析：依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(25－m>0,m＋9>0,m＋9>25－m))，解得8＜m＜25.
椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B.2 C.4 D.eq \f(1,4)
【答案解析】答案为：D；
解析：由x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1及题意知，2eq \r(\f(1,m))＝2×2×1，m＝eq \f(1,4)，故选D.
“2＜m＜6”是“方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：B
解析：若eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2＜m＜6且m≠4.
故“2＜m＜6”是“eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的必要不充分条件.
若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为eq \f(1,2)，则eq \f(m,n)＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(3,4)或eq \f(4,3)
【答案解析】答案为：D
解析：若焦点在x轴上，则方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，依题意得eq \f(\f(1,m)－\f(1,n),\f(1,m))＝eq \f(1,4)，所以eq \f(m,n)＝eq \f(3,4)；
若焦点在y轴上，则方程化为eq \f(y2,\f(1,n))＋eq \f(x2,\f(1,m))＝1，同理可得eq \f(m,n)＝eq \f(4,3).所以所求值为eq \f(3,4)或eq \f(4,3).
已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2＝1的离心率为( )
A.eq \f(\r(30),6) B.eq \r(7) C.eq \f(\r(30),6)或eq \r(7) D.eq \f(5,6)或eq \r(7)
【答案解析】答案为：C.
解析：由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，
此时a＝eq \r(6)，b＝1，c＝eq \r(5)，则e＝eq \f(\r(30),6)；
当m＝﹣6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝eq \r(6)，c＝eq \r(7)，则e＝eq \r(7).故选C.
设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
【答案解析】答案为：D
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝eq \r(3).
故e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(\r(3),3).故选D.
椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cs∠PAQ＝eq \f(3,5)，则椭圆C的离心率e为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),3)
【答案解析】答案为：A
解析：根据题意可取P(c，eq \f(b2,a))，Q(c，﹣eq \f(b2,a))，所以tan∠PAF＝eq \f(\f(b2,a),a＋c)＝eq \f(b2,a2＋ac)＝eq \f(a2－c2,a2＋ac)＝eq \f(a－c,a)
＝1﹣e，cs∠PAQ＝cs 2∠PAF＝cs2∠PAF﹣sin2∠PAF＝eq \f(cs2∠PAF－sin2∠PAF,cs2∠PAF＋sin2∠PAF)＝
eq \f(1－tan2∠PAF,1＋tan2∠PAF)＝eq \f(1－1－e2,1＋1－e2)＝eq \f(3,5)，故5﹣5(1﹣e)2＝3＋3(1﹣e)2⇒8(1﹣e)2＝2
⇒(1﹣e)2＝eq \f(1,4).又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1﹣e＝eq \f(1,2)，e＝eq \f(1,2)，故选A.
二、填空题
设F1，F2是椭圆eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________.
【答案解析】答案为：24；
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.
因为|F1F2|＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×8×6＝24.
已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________.
【答案解析】答案为：eq \f(y2,16)＋x2＝1
解析：本题考查椭圆的标准方程.由已知，2a＝8,2c＝2eq \r(15)，∴a＝4，c＝eq \r(15)，
∴b2＝a2﹣c2＝16﹣15＝1，∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________.
【答案解析】答案为：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1；
解析：由题意可知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2\r(3)，))所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e＝eq \f(2,3)，则实数k的值是________.
【答案解析】答案为：eq \f(20,9)或eq \f(36,5).
解析：当k＞4 时，有e＝ eq \r(1－\f(4,k))＝eq \f(2,3)，解得k＝eq \f(36,5)；当0＜k＜4时，
有e＝ eq \r(1－\f(k,4))＝eq \f(2,3)，解得k＝eq \f(20,9).故实数k的值为eq \f(20,9)或eq \f(36,5).