2026届高考数学一轮总复习提能训练练案4基本不等式

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案4基本不等式，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列不等式证明过程正确的是( )
A．若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2
B．若x>0，y>0，则lg x＋lg y≥2eq \r(lg x·lg y)
C．若x0，n>0，
由基本不等式m＋n≥2eq \r(mn)得，
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，
所以m＋n的最小值是18.
3．已知a>0，b>0，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，则4a＋9b的最小值是( )
A．23 B．26
C．22 D．25
[答案] D
[解析] 由题意得a>0，b>0，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，
故4a＋9b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋9b)＝eq \f(9b,a)＋eq \f(4a,b)＋13≥2eq \r(\f(9b,a)·\f(4a,b))＋13＝25，
当且仅当eq \f(9b,a)＝eq \f(4a,b)，即a＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(5,3)时取等号，
故4a＋9b的最小值是25.
4．已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝( )
A．24 B．28
C．32 D．36
[答案] D
[解析] 因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.故选D.
5．(2025·西安模拟)已知a>0，b>0，若不等式eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12
C．18 D．24
[答案] B
[解析] 由eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋3b)，得m≤(a＋3b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋6.又eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋6≥2eq \r(9)＋6＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(9b,a)＝\f(a,b)，即a＝3b时等号成立))，∴m≤12，∴m的最大值为12，故选B.
6．(2025·洛阳模拟)设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则eq \f(xy,z)的最大值为( )
A．4 B．2
C．3 D．1
[答案] D
[解析] 因为正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy，所以eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2＋y2－xy)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(y,x)－1)≤eq \f(1,2\r(\f(x,y)·\f(y,x))－1)＝1，当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(y,x)，即x＝y时，等号成立，故eq \f(xy,z)的最大值为1.
7．(2025·安徽黄山质检)已知f(x)＝eq \f(x2＋3x＋6,x＋1)(x>0)，则f(x)的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 由题意知，
f(x)＝eq \f(x2＋3x＋6,x＋1)＝eq \f(x＋12＋x＋1＋4,x＋1)＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1，
因为x>0，所以x＋1>0，
则x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1≥2eq \r(4)＋1＝5，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x＋1＝\f(4,x＋1)，即x＝1时取“＝”))
故f(x)的最小值是5.
8．(2024·山西高三阶段练习)已知正实数a，b满足2a＋b＝6，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b＋2)的最小值为( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(9,8) D．eq \f(9,4)
[答案] C
[解析] ∵2a＋b＝6，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b＋2)＝eq \f(4,2a)＋eq \f(1,b＋2)＝eq \f(1,8)(2a＋b＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2a)＋\f(1,b＋2)))
＝eq \f(1,8)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋1＋\f(2a,b＋2)＋\f(4b＋2,2a)))≥eq \f(1,8)×(5＋2eq \r(4))＝eq \f(9,8)，
当且仅当eq \f(2a,b＋2)＝eq \f(4b＋2,2a)，即b＝eq \f(2,3)，a＝eq \f(8,3)时，取等号．故选C.
二、多选题
9．(2025·山东新高考模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝2，下列式子中，最小值为2的有( )
A．2ab B．a2＋b2
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b) D．eq \f(2,ab)
[答案] BCD
[解析] 因为a，b>0，所以2＝a＋b≥2eq \r(ab)，所以01时，x＋eq \f(1,x－1)的最小值是3
B.eq \f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值是2
C．当00，所以x＋eq \f(1,x－1)＝(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋1≥2eq \r(x－1·\f(1,x－1))＋1＝3，
当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B，因为eq \f(x2＋5,\r(x2＋4))＝eq \f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq \r(x2＋4)＋eq \f(1,\r(x2＋4))≥2，
等号成立的条件是x2＝－3，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为2，令t＝eq \r(x2＋4)≥2，则y＝t＋eq \f(1,t)在[2，＋∞)上单调递增，所以t＝2时取得最小值eq \f(5,2)，故选项B错误；
对于选项C，因为02时，x＋eq \f(4,x－2)的最小值为 .
(2)当x≥4时，x＋eq \f(4,x－1)的最小值为 .
[答案] (1)6 (2)eq \f(16,3)
[解析] (1)∵x>2，∴x－2>0.
∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(4)＋2＝6，
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时“＝”成立．
∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.令x－1＝t≥3，
∵函数y＝t＋eq \f(4,t)在[3，＋∞)上单调递增，
∴当x－1＝3，即x＝4时，y＝(x－1)＋eq \f(4,x－1)＋1
有最小值eq \f(16,3).
14．已知a，b∈R，若a－3b＝2，则2a＋eq \f(1,8b)的最小值为________.
[答案] 4
[解析] 2a＋eq \f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2×eq \r(2a－3b)＝2×eq \r(22)＝4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2－3b，,a－3b＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－\f(1,3)))时等号成立．
15．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.
[答案] eq \f(4,5)
[解析] ∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝eq \f(1－y4,5y2).∴x2＋y2＝eq \f(1－y4,5y2)＋y2＝eq \f(1,5y2)＋eq \f(4y2,5)≥2eq \r(\f(1,5y2)·\f(4y2,5))＝eq \f(4,5)，当且仅当eq \f(1,5y2)＝eq \f(4y2,5)，即x2＝eq \f(3,10)，y2＝eq \f(1,2)时取等号．∴x2＋y2的最小值为eq \f(4,5).
B组能力提升
1．(2024·河北邯郸一模)若x>0，y>0,3x＋2y＝1，则8x＋4y的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2)
C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
[答案] B
[解析] 8x＋4y＝23x＋22y≥2eq \r(23x·22y)＝2eq \r(23x＋2y)＝2eq \r(2)，当且仅当23x＝22y且3x＋2y＝1，即x＝eq \f(1,6)，y＝eq \f(1,4)时等号成立，则8x＋4y的最小值为2eq \r(2).故选B.
2．(2025·安徽A10联盟质量检测)已知m，n∈(0，＋∞)，eq \f(1,m)＋n＝4，则m＋eq \f(9,n)的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] ∀m，n∈(0，＋∞)，m＋eq \f(9,n)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(9,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋n))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋mn＋\f(9,mn)))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(mn·\f(9,mn))))＝4，当且仅当mn＝eq \f(9,mn)，即m＝1，n＝3时等号成立，则m＋eq \f(9,n)的最小值为4.故选B.
3．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值eq \f(1,4)
B.eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最小值4
D．a2＋b2有最小值eq \f(\r(2),2)
[答案] ABC
[解析] 因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，所以ab≤eq \f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，所以ab有最大值eq \f(1,4)，所以A正确；
eq \r(a)＋eq \r(b)≤2eq \r(\f(a＋b,2))＝eq \r(2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)取等号，所以eq \r(a)＋eq \r(b)的最大值为eq \r(2)，所以B正确；
因为eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,ab)≥4，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最小值4，所以C正确；
因为a2＋b2≥eq \f(a＋b2,2)＝eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，所以a2＋b2的最小值不是eq \f(\r(2),2)，所以D错误．故选ABC.
4．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B．2
C．eq \f(1,3) D．1
[答案] A
[解析] 令x＋1＝m，y＋2＝n，
∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，
则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)＝eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))×eq \f(1,8)(m＋n)
＝eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＋\f(m,n)＋2))≥eq \f(1,8)·(2＋2)＝eq \f(1,2).
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(m,n)，即m＝n＝4时等号成立．
∴eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)的最小值为eq \f(1,2).
5．设x>0，y>0，x＋2y＝4，则eq \f(x＋12y＋1,xy)的最小值为________.
[答案] eq \f(9,2)
[解析] eq \f(x＋12y＋1,xy)＝eq \f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝eq \f(2xy＋5,xy)＝2＋eq \f(5,xy).∵x＋2y＝4，∴4≥2eq \r(2xy)，∴2xy≤4.∴eq \f(1,xy)≥eq \f(1,2).∴2＋eq \f(5,xy)≥2＋eq \f(5,2)＝eq \f(9,2).
6．已知a>0，b>0，且ab＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为________.
[答案] 4
[解析] ∵ab＝1，∴b＝eq \f(1,a).∴eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(1,2a)＋eq \f(a,2)＋eq \f(8,a＋\f(1,a))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋a))＋eq \f(8,a＋\f(1,a)).
令eq \f(1,a)＋a＝t>0，
则原式＝eq \f(t,2)＋eq \f(8,t)≥2eq \r(\f(t,2)·\f(8,t))＝2eq \r(4)＝4.
当且仅当t2＝16，即t＝4时，等号成立，此时eq \f(1,a)＋a＝4.
C组拓展应用(选作)
若正实数a，b满足a＋b＋2＝ab，则a＋b－2的最小值为________；eq \f(3,a－1)＋eq \f(7,b－1)的最小值是________.
[答案] 2eq \r(3) 2eq \r(7)
[解析] 由a＋b＋2＝ab，得a＝eq \f(b＋2,b－1)>0，
所以b>1，
同理可得a>1，所以b－1>0，a－1>0.
因为a＋b＋2＝ab，所以(a－1)(b－1)＝3，
所以a＋b－2＝(a－1)＋(b－1)
≥2eq \r(a－1b－1)＝2eq \r(3)，当且仅当a－1＝b－1，即a＝b＝1＋eq \r(3)时取等号．
又b－1＝eq \f(3,a－1)，所以eq \f(3,a－1)＋eq \f(7,b－1)＝b－1＋eq \f(7,b－1)≥2eq \r(b－1·\f(7,b－1))＝2eq \r(7)，当且仅当b－1＝eq \f(7,b－1)，即b＝eq \r(7)＋1时等号成立．