第4讲 基本不等式 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练）

这是一份第4讲 基本不等式 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练），共14页。试卷主要包含了若a  1，则a 等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共 10 小题）
1．（2024 秋•福贡县期末）已知函数 f (x)  x  1 ， x  0 ，则函数 f (x) 的最小值为
x
()
A． 2
B．2C． 2
D． 2
2
2
2．（2025•南岗区三模）已知正数a ，b 满足 1  3  2 ，则a  3b 的最小值为()
ab
A．8B．7C．6D．5
3．（2025 春•宁波期中）已知正数a ，b 满足 1  2  1 ，则a  2b 的最小值为()
ab
A．9B．6C．4D．3
4．（2025 春•浙江期中）已知a  0 ， b  0 ，且满足a  2b  ab ，则a  2b 的最小值为()
A．4B．6C．8D．10
5．（2025 春•广东期中）若a  1，则a 
1
a  1
的最小值是()
A．2B．3C．4D．5
6．（2025•凉州区模拟）若正数 x ， y 满足4x  y  4 ，则 1  1 的最小值为()
xy
A．2B． 9
4
C．3D． 8
3
7．（2025 春•静宁县月考）已知正数 x ， y 满足32x  ( 3)2 y ，则 1  2 的最小值为
xy
()
2
2
2
2
A． 5 B． 3 C． 2 D． 3  2
222
8．（2025 春•南安市月考）若 x… 0 ， y… 0 ，且 1 1 1 ，则3x  4 y 的最小值
x  12x  4 y
为()
A．2B．3C．4D．8
9．（2025•淄博模拟）利民工厂的某产品，年产量在150T 至250T 之间，年生产的
x2
总成本 y （万元）与年产量 x(T ) 之间的关系近似地表示为 y  30x  4000 ，则
10
每吨的成本最低时的年产量为()
A．160B．180C．200D．240
10．（2025•中ft市一模）若 x  2 y  4 ，则2x  4y 的最小值是()
2
2
A．4B．8C． 2D． 4
二．多选题（共 4 小题）
（多选）11．（2025•张家口三模）已知a ，b  R ，且ab  3 ，若a (0 ，6] ，则()
A． b 
1
(0, ]
2
B． a  b 的最小值为2
3
C． 2 
a
1 的最小值为 6
4b3
D． a  2b 的取值范围为( ， 5]
（多选）12．（2025•湖南模拟）已知a  0 ， b  0 ，且a  b  2 ，则()
A． 2a  2b… 8
C． lg2 a  lg2 b„ 1
B． 1  1  2
ab
D． a2  b2… 2
2a
b
2
（多选）13．（2025•浙江模拟）已知正数a ， b 满足2a  b  1 ，则()
A． ab  1
16
B． 1  2  8
ab
C．
D． a2  b2  1 5
（多选）14．（2025•河北模拟）已知 x  0 ， y  0 ， x  2 y  2 ，则下列说法正确
的是()
A． xy 的最大值为 1
2
B． 4  x 的最小值为 4
xy
C． x2  4 y2 的最大值为 2D． x2  y2 的最小值为 4 5
三．填空题（共 4 小题）
15．（2025•安徽模拟）若m  0 ， n  0 ， m  2n  1，则 1  2 的最小值是．
mn
16．（2025•浦东新区模拟）若正数 x 、 y 满足 x  4 y  1 ，则 xy 的最大值为 ．
17．（2025•四川模拟）若x0
(1, ),
1
x0  1
 m  x0
，则实数m 的取值范围为．
18．（2025•重庆模拟）若a  b  1 ，且a  3b  5 ，则 1 4 的最小值为．
a  bb  1
四．解答题（共 6 小题）
19．（2024 秋•安宁区期末）（Ⅰ）若a ， b  0 ，且ab  a  b  3 ，求ab 的最小值；
若a ， b  0 ，且ab  a  b ，求4a  b 的最小值．
20．（2024 秋•米东区期末）不等式若两个正实数 x ， y ，满足 1  1  1．
xy
xy
求的最小值，并说明此时 x ， y 的值；
若不等式4x  y… m2  2m  1恒成立，则实数m 的取值范围．
21．（2024 秋•田家庵区期末）已知 x  0 ， y  0 ，且 x  4 y  xy ．
求 xy 的最小值；
求 x  4 y 的最小值；
求 x  y 的最小值．
22．（2024 秋•镇江期末）（1）已知a  0 ， b  0 ，且a  b  ab ，求a  b 的最小值；
b
a
a
（2）已知a  0 ， b  0 ，证明： a  b  b ．
23．（2024 秋•吐鲁番市期末）（1）已知 x  1 ，求 x 
1
x  1
的最小值．
x(10  x)
求
的最大值．
已知正数 x ， y 满足 x  3y  1 ，求 1  2 的最小值．
xy
24．（2024 秋•湛江期末）（1）已知 x  5 ，求4x  2 
4
1
4x  5
的最大值；
（2）若正数 x ， y 满足 x2  xy  2  0 ，求3x  y 的最小值．
一．选择题（共 10 小题）
二．多选题（共 4 小题）
一．选择题（共 10 小题）
【答案】 B
【分析】根据基本不等式即可得到最值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
B
B
B
B
C
B
题号
11
12
13
14
答案
BCD
BCD
BCD
AD
x  1
x
【解答】解：因为 x  0 ，则 x  1  2
x
当且仅当 x  1 ，即 x  1 时等号成立．
x
所以函数 f (x) 的最小值为 2．
 2 ，
故选： B ．
【答案】 A
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为正数a ， b 满足 1  3  2 ，
ab
则a  3b  (a  3b)( 1  3)  1  1 (10  3b  3a )  1 (10  2
3b  3a )  8 ，
ab22ab2ab
当且仅当a  b  2 时取等号．故选： A ．
【答案】 A
【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出a  2b 的最小值．
【解答】解：正数a ， b 满足 1  2  1 ，
ab
2b  2a ab
则a  2b  (a  2b)( 1  2)  1  2a  2b  4  5  2
abba
当且仅当 2b  2a 且 1  2  1 ，即a  3 ， b  3 ，
 9 ，
abab
故a  2b 取得最小值 9．故选： A ．
【答案】C
【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：因为a  0 ， b  0 ，且满足a  2b  ab ，
所以 1  2  1 ，
ba
4b  a ab
则a  2b  (a  2b)(1  2 )  4  4b  a … 4  2
baab
 8 ，
当且仅当 4b  a 且 1  2  1 ，即b  2 ， a  4 时取等号， a  2b 取最小值 8．
abba
故选： C ．
【答案】 B
(a  1) 
1
a  1
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解： a  1，则a 
1
a  1
 a  1 
1
a  1
 1  2
 1  3 ，
当且仅当a  1 
故选： B ．
【答案】 B
1
a  1
，即a  2 时取等号．
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得．
【解答】解：由正数 x ， y 满足4x  y  4 ，
y  4x xy
得 1  1  1 (4x  y)( 1  1 )  1 ( y  4x  5)  1 (2 5)  9 ，
xy4xy4 xy44
当且仅当 y  4x ，即 x  2 ， y  4 时取等号，
xy33
所以 1  1 的最小值为 9 ．
xy4
故选： B ．
【答案】 B
【分析】由题设可得 x  y  2 ，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可．
【解答】解：因为正数 x ， y 满足32x  ( 3)2 y  3y ，所以2  x  y ，
则 1  2  1 (x  y)( 1  2 )  1 (3  y  2x )  1 (3  2 y  2x )  3  2 ，
xy2
xy2
xy2
xy2
2
当且仅当 y  2x ，即 x  2
xy
故选： B ．
【答案】 B
 2, y  4  2 2 时取等号．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解： x… 0 ， y… 0 ，且 1 1 1 ，

x  12x  4 y
3x  4 y  1  1  [(x  1)  (2x  4 y)]( 1 1)  1
x  12x  4 y
2x  4 yx  1
x  1  2x  4 y
 2 x  1  2x  4 y  1  2  2 1  3 ，

2x  4 yx  1
当且仅 x  1  2x  4 y 时，即2x  4 y  x  1  2 时，得 x  1 ， y  0 时，等号成立，
2x  4 yx  1
所以3x  4 y 的最小值是 3．
故选： B ．
【答案】C
【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．
【解答】解：（1）依题意，每吨平均成本为 y （万元），
x
x • 4000
10x
则 y  x  4000  30… 2
 30  10
x10x
当且仅当 x
10
 4000 ，即 x  200 时取等号，又150  200  250 ，
x
2x 2 y
所以年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低．故选： C ．
2x •22 y
【分析】由基本不等式可得2x  4y  2x  22 y … 2
 2
 8 ，注意等号成
立的条件即可．
【解答】解：Q x  2 y  4 ，
2x •22 y
 2x  4y  2x  22 y … 2
 2
 2 8
2x 2 y
24
当且仅当2x  22 y 即 x  2 且 y  1 时取等号，
 2x  4y 的最小值是 8
故选： B ．
二．多选题（共 4 小题）
【答案】 BCD
【分析】利用基本不等式判断 BC ，根据b  3 ，转化为函数关系，转化为根据定
a
义域问题求值域，判断 AD ．
[,
【解答】解： A ．因为b  3 ， a (0 ， 6] ，则b  1 ) ，故 A 错误；
a2
ab
3
B ．由题意可知， a  0 ， b  0 ，则a  b  2 2 3 ，当a  b 时等号成立，
3
则a  b 的最小值为2，故 B 正确；
C ． 2  1
 2
6 ，当 2  1
，即a  8b  2
时等号成立，故C 正确；
2  1
a 4b
6
a4b3a4b
D.a  2b  a  6 ，
a
当a (0 ， 6] ， y  a  6 在区间(0 ， 6] 上单调递增，
a
当a  6 时取得最大值 5，且a  0 时， y  a  6   ，
a
所以a  2b 的取值范围为( ， 5] ，故 D 正确．
故选： BCD ．
【答案】 BCD
【分析】利用基本不等式，结合对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可．
【解答】解：因为a  0 ， b  0 ，且a  b  2 ，
A ：若a  b  1 ，选项 A 显然不成立；
B : 1  1  1  2( 1  1)  1 (a  b)( 1  1)  1 (2  b  a )  1 (2  2 b  a ) ，
ab2
ab2
ab2
ab2a b
即 1  1  2 ，当且仅当 a  b 时取等号，即a  b  1 时取等号，因此本选项正确；
abba
C ：因为lg a  lg b  lg (ab)  lg ( a  b )2 ，即lg a  lg b„ 0 ，
2222222
当且仅当a  b  1 时取等号，显然lg2 a  lg2 b„ 1成立，故本选项正确；
D ：因为
a  b
2
 a
2  b2
 2 ，当且仅当a  b  1 时取等号，因此本选项正
a2  b2
2
确，
故选： BCD ．
【答案】 BCD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验选项 ABC ，结合二次函数性质检验选项 D 即可求解．
2ab
【解答】解：因为正数a ，b 满足1  2a  b  2，当且仅当b  2a ，即b  1 ，a  1
24
时取等号，
所以ab  1 ， A 错误；
8
b  4a ab
1  2  ( 1  2)(2a  b)  4  b  4a  4  2 8 ，当且仅当b  2a ，即b  1 ， a  1
ababab24
时取等号， B 正确；
2a
b
 2
，当且仅当b  2a ，即b  1 ， a  1 时取等号， C 正确；
2a  b
2
2
24
a2  b2  a2  (1  2a)2  5a2  4a  1 ， 0  a  1 ，
结合二次函数性质可知，当a  2 时，上式取得最小值 1 ， D 正确．
55
故选： BCD ．
【答案】 AD
【分析】利用基本不等式计算并判断 A ，结合常数代换可计算并判断 B ，C ，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断 D ．
【解答】解：因为 x  0 ， y  0 ， x  2 y  2 ，
2xy
2  x  2 y  2，所以 xy  1 ，当且仅当 x  2 y ，即 x  1 ，y  1 时等号成立，故 A
22
正确；
4 y  x xy
因为 4  x  2(x  2 y)  x  4 y  x  2  2
xyxyxy
 2  6 ，当且仅当 4 y  x ，即 x  1 ，
xy
y  1 时等号成立，故 B 错误； 2
因为 x2  4 y2  (x  2 y)2  4xy  4  4xy  4  4  1  2 ，当且仅当 x  1 ， y  1 时等号成
22
立，故C 错误；
x2  y2 可以看作直线 x  2 y  2  0 落在第一象限内的点到原点距离的平方，
12  22
易知最短距离为d  | 0  0  2 |  2 5 ，
5
所以 x2  y2 的最小值为d 2  4 ，故 D 正确．
5
故选： AD ．
三．填空题（共 4 小题）
【答案】9．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：若m  0 ， n  0 ， m  2n  1，
2n  2m mn
则 1  2  ( 1  2)(m  2n)  5  2n  2m  5  2
mnmnmn
当且仅当m  n  1 时取等号．
3
 9 ，
故答案为：9．
【答案】 1 ．
16
【分析】令 x  1  4 y ，再结合二次函数的性质求解即可；
【解答】解：因为正数 x 、 y 满足 x  4 y  1 ，
所以 x  1  4 y  0 ，
所以0  y  1 ，
4
所以 xy  y(1  4 y)  4 y2  y  4( y  1)2  1 ，
816
根据二次函数的性质可知，当 y  1 时， xy 取得最大值为 1 ．
816
故答案为： 1 ．
16
【答案】[3 ， ) ．
0
【分析】根据题意，转化为m  (x 1 )，令 f (x)  x  1 ，结合基本不等式，
0
x  1 min
x  1
求得函数 f (x) 的最小值，即可求解．
0
0
0
【解答】解：因为x (1, ),1 m  x ，故只需m  (x 1 )，
x0  1
(x  1) 
1
x  1
0
x  1 min
令 f (x)  x 
1
x  1
，则 f (x)  x  1 
1
x  1
 1  2
 1  3 ，
当且仅当 x  1 所以m… 3 ．
1
x  1
，即 x  2 时取等号，此时 f (x) 取得最小值 3，
故答案为：[3 ， ) ．
【答案】25．
【分析】利用已知条件构造(a  b)  4(b  1)  1 ，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【解答】解：因为a  b  1 ， a  3b  5 ，
所以( 1 4 )[(a  b)  4(b  1)]

a  bb  1
4(b  1)  4(a  b)
a  bb  1
 (a  b)  4(b  1)  4[(a  b)  4(b  1)]  17  4(b  1)  4(a  b)  17  2

 25
a  bb  1
，
a  bb  1
当且仅当a  b  b  1  1  b  6 , a  7 时，等号成立，
555
所以 1 4 的最小值为 25．
a  bb  1
故答案为：25．
四．解答题（共 6 小题）
【答案】(I )9 ，
(II )9 ．
ab
【分析】(I ) 由已知结合基本不等式ab… 2 3 ，可求ab 的范围，进而可求ab 的
最小值，
(II ) 由已知得， 1  1  1 ，然后利用4a  b  (4a  b)( 1  1) ，展开后利用基本不等式
abab
可求．
ab
【解答】解： (I )a ， b  0 ， ab  a  b  3… 2 3 ，
当且仅当a  b 时取等号，
解得， ab… 3 ，
所以ab… 9 ，即ab 的最小值 9，
(II )Q a ， b  0 ，且ab  a  b ，
 1  1  1 ，
ab
b  4a ab
4a  b  (4a  b)( 1  1)  5  b  4a … 5  2
abab
 9 ，
当且仅当 b  4a 且 1  1  1 ，即a  3 ， b  3 时取等号，此时4a  b 取得最小值 9．
abab2
【答案】（1）最小值为 2，此时 x  2 ， y  2 ；
（2）[2 ， 4] ．
【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解；
结合乘 1 法，利用基本不等式先求出4x  y 的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：两个正实数 x ， y ，满足 1  1  1．
xy
xy
由题意可得 xy  x  y  2，当且仅当 x  y  2 时取等号，
xy
所以 xy… 2 ，即的最小值为 2，此时 x  2 ， y  2 ；
y  4x xy
因为 4x  y  (4x  y)( 1  1 )  5  y  4x  5  2
xyxy
 9 ，当且仅当 y  2x ，即
x  3 ， y  3 时取等号，
2
若不等式4x  y… m2  2m  1恒成立，则9… m2  2m  1 ，解得2„ m„ 4
故实数m 的取值范围为[2 ， 4] ．
【答案】（1）16；
（2）16；
（3）9．
【分析】（1）（2）利用基本不等式求出最小值．
利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【解答】解： x  0 ， y  0 ，且 x  4 y  xy ．
x  4 y
（1） xy  x  4 y  2
 4
，解得 xy… 16 ，当且仅当 x  4 y  8 ，即 x  8 ， y  2
xy
时取等号，
所以 xy 取得最小值 16．
（2） x  4 y  1 x  4 y  1 ( x  4 y )2 ，解得 x  4 y… 16 ，
442
当且仅当 x  4 y  8 ，即 x  8 ， y  2 时取等号， x  4 y 取得最小值 16．
由 x  4 y  xy ，得 4  1  1，
xy
则 x  y  ( 4  1 )(x  y)  5  x  4 y  5  2  2  9 ，
xyyx
当且仅当 x  2 y  6 ，即 x  6 ， y  3 时取等号， x  y 取得最小值 9．
【答案】（1）4；
（2）证明过程见详解．
【分析】（1）由题意及基本不等式可得a  b 的最小值；
（2）作差整理可得结论．
【解答】（1）解： a  0 ， b  0 ，且a  b  ab„ ( a  b )2 ，解得a  b… 4 ，
2
可得a  b 的最小值为 4；
( a )3  ( b )3
ab
a
( a  b )(a  b  ab )
ab
a
b )(
b )(
b )
（2）证明：
b
a
a
(
a  b
  
( a  b )(a  b  2 ab )
ab
( a  b )( a  b )2
ab
，
a
因为a  0 ， b  0 ，可得
 0 ，
0 ， (
 b )2… 0 ，
b
ab
a
( a  b )( a  b )2
ab
所以… 0 ，
b
a
a
所以： a  b … ( b ) ．
即证得结论．
【答案】（1）3；（2）5；（3） 7  2 6 ．
【分析】（1）配凑后根据基本不等式求最值；
由基本不等式求积的最大值；
利用“1”的变形及基本不等式求最值．
(x  1) 
1
x  1
【解答】解：（1）因为 x  1 ，
所以 x 
1
x  1
 x  1 
1
x  1
 1  2
 1  3 ，
当且仅当 1
x  1
 x  1 ，即 x  2 时，等号成立， x 
1
x  1
的最小值 3．
（2）由 x(10  x)… 0 可得0„ x„ 10 ，
x(10  x)
当 x  0 或 x  10 时， 0 ，
当0  x  10 时，由基本不等式可得，即 x  5 时等号成立，
 x  10  x  5 ，当且仅当 x  10  x ，
x(10  x)
2
x(10  x)
综上
的最大值为 5．
6
（3）因为正数 x ， y 满足 x  3y  1 ，
3y  2x xy
由基本不等式可得， 1  2  (x  3y)( 1  2 )  7  3y  2x  7  2
xyxyxy
 7  2，
当且仅当 3y  2x 且 x  3y  1 ，即 y  6 
6 ， x 
6  1 时等号成立．
xy
6
即 1  2 的最小值为2
xy
155
 7 ．
【答案】（1）1；（2）4．
【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案．
（2）先化简已知条件，然后利用基本不等式求得正确答案．
【解答】解：（1）由于 x  5 ，
4
所以
(4x  5) 1
4x  5
4x  2 1 4x  5 1 3  [(4x  5) 1 ]  3  2
 3  1 ，
4x  54x  54x  5
当且仅当5  4x 
1
5  4x
，即 x  1 时等号成立，
所以4x  2 
1
4x  5
的最大值为 1．
（2）依题意， x2  xy  2  0 ， x  0 ， y  0 ，
x2  22
所以 y  x  ，
xx
2x  2
x
所以3x  y  3x  x  2  2x  2  2
xx
当且仅当2x  2 , x  1 时等号成立，
x
所以3x  y 的最小值为 4．
 4 ，