黑龙江省哈尔滨市道外区2024-2025学年高一下期中考试数学试卷（解析版）

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一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 两个单位向量一定相等
B. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
C. 共线的单位向量必相等
D. 若与不共线，则与都是非零向量
【答案】D
【解析】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确.
故选：D
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. 4C. D. 4i
【答案】A
【解析】依题意，，其虚部为.
故选：A
3. 在中，已知角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
则由正弦定理可设，.
由余弦定理得.
故选：C.
4. 已知三点，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】由题意知，，
所以.
故选：C
5. 如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，
由正弦定理可得，即，
因为点测得塔顶的仰角为，所以.
故选：C
6. 在中，边上的中线为，点满足，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
故，
故选：A.
7. 如图，高为的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，则水面半径为．
当水的体积等于容器容积的一半时，有，整理得．
因为，，，，则D选项更接近．
故选：D．
8. 如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
因为，，
所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示，
所以求的最小值的问题转化为：动点在线段上移动，求的最小值．
因此作于，则与的距离即为所求的最小值，，
故的最小值是1．
故选：A．
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】因为向量，，若，则，所以，故A正确；
若，则，所以，故B正确；
若，解得，故C错误；
若，则，所以，故D正确；
故选：ABD.
10. 已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ）
A. 该圆锥的母线长为
B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面积为
D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为
【答案】ABD
【解析】设该圆锥的母线长为，如下图所示：
因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角；
所以，解得，A正确；
设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以，
则圆锥的高，所以该圆锥的体积，
侧面积为，B正确、C错误；
设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，所以，D正确．
故选：ABD．
11. 已如的内角所对的边分别为，下列结论证确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D.
【答案】ABD
【解析】对于A，在中，，则，由正弦定理得，A正确；
对于B，，则，在中，，则，即，则，，
即是直角三角形，B正确；
对于C，由，得，即，而为内角，因此为钝角，即是钝角三角形，C错误；
对于D，，
同理，则，
即，
而，因此，
即，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______.
【答案】
【解析】由复数，
因为复数是纯虚数，所以，
解得，经检验符合题意，.
故答案为：.
13. 在中，内角所对的边分别为，，则______．
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理可得．
又，所以，故．又因为，所以．
故答案为：.
14. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为__________.
【答案】
【解析】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示，
连接和交于点，
因为，，所以，，
又和交于点，平面，所以平面，
所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等，
距离即为内切球半径，设内切球与平面切于点，
所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以，
因为正八面体的棱长为4，
所以，，，
所以，，
因为，，所以，
即，所以正八面体内切球的表面积为：．
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设复数，．
（1）若是实数，求；
（2）若是纯虚数，求的共轭复数．
解：（1），是实数，
，即，
．
（2）．
是纯虚数，
，即，
，的共轭复数为．
16. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
（1）求；
（2）求；
（3）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.
解：（1）.
（2）因为，
所以.
（3）在方向上的投影向量为.
17. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求．
（2）若，且三角形的面积为，求的周长．
解：（1）∵，
又，所以．
（2），即，
由余弦定理得：．解得：
所以的周长
18. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥.
（1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积；
（2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.
解：（1）在正方体中，因为棱长为，可得，
所以截去的三棱锥的表面积为：
.
在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为，
又因为平面，即为三棱锥的高，
可得，
所以几何体的体积为.
（2）由（1）可得：四棱锥的体积.
19. 在中，角的对边分别为，向量，，且．
（1）若边，，的平分线交边于点．求的长；
（2）若为边上任意一点，，．求的最小值．
解：（1）由得，，即，
∴，由得，，
∵，∴
由余弦定理得，，即，得，
∵为的平分线，∴，
∴，
∴，∴．
（2）由已知得，，即，
∴，故，
∵，∴，
∵，，∴，即，
∴，
当且仅当时等号成立，
∴的最小值为．