2024_2025学年黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学试卷

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这是一份2024_2025学年黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷选择题（68分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有1个选项符合题意.
1. 集合，则（）
A. B. RC. D. −∞,1
2. 已知复数，则下列结论正确的是（）
A. B. 的虚部是
C. 在复平面对应的点位于第三象限D.
3 设向量，则（）
A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的必要条件
C. “x=0”是“”的充分条件D. “”是“”的充分条件
4. 设等差数列的前项和为，且满足，则当取得最小值时，的值为（）
A. 10B. 12C. 15D. 24
5. 若，则（）
A. B. C. D.
6. 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（）
A. 在区间上为增函数B.
C. D.
8. 已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为
A. 2B. C. 3D.
9. 已知是定义在上奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（）
A. B. 4C. 8D. 或8
10. 已知函数的定义域为，且满足的导函数为，函数为奇函数，则（）
A. B. 3C. D. 1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的4个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）
A B.
C. D.
12. 等差数列中，，则下列命题正确的是（）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D 若，则，
13. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）
A.
B. 在向量上的投影向量为
C. 若，则为的中点
D. 若在线段上，且，则的取值范围为
第II卷非选择题（82分）
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
14. 函数在点处的切线方程为___________.
15. 设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是__________.
16. 设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共4小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，且函数在上的最大值为．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间．
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当，证明.
19. 内角的对边分别为，，，满足.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
20. 欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
（1）将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
（2）求的最大值；
（3）若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．