精品解析：河南省郑州名校联考2024-2025学年高二上学期期中联考数学测试卷

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（考试范围：必修1，必修2，选择性必修1）
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 直线是双曲线一条渐近线，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 16
3. 直线的倾斜角为
A B. C. D.
4. 已知，向量，，，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A. 3B. C. D. 2
6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足．过点总可以向以点为圆心､为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，在三棱锥中，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D. 2
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，曲线为直线
B. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆
C. 当时，曲线为焦点在轴上双曲线
D. 曲线不可能是圆
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 在长方体中，可以构成空间的一个基底
B. 已知三点不共线，对平面外任一点，若点满足，则在平面内
C. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为
D. 已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则
11. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为
C. 若，则的取值范围为
D. 若，则的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则______.
13. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为__________．
14. 已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程．
16. 一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．

（1）若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；
（2）若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值．
17. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，求三角形内切圆半径的取值范围．
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点．
（1）若为棱中点，证明：面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．
19. 已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求直线的方程；
（3）过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线于点．试证明：恒成立．