辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线经过点，，，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】直线经过点，，故直线 的方程为：，倾斜角为.
故选：B.
2. 关于空间向量，下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据空间向量数量积的运算律可知：，，
均成立，即A、B、C正确；
为与共线的向量，为与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误．故选：D.
3. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
4. 已知，，，若，，共面，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. －1
【答案】D
【解析】因为共面，所以，
即，
则解得.
故选：D.
5. 已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆柱和圆锥高为，
则圆锥的母线长为：，
由圆锥与圆柱侧面积相等得：，解得，
故圆锥的体积：.
故选：D.
6. 如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合，
所以正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设为
所以，解得，
故选：C.
7. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
因为且四边形是菱形，
所以，且，
即，
所以，
设点到直线的距离为，
所以，
故选：D.
8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，，
因为，所以，
即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.
点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
则，解得
故选:B.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正四面体的棱长为6，下列结论正确的是（ ）
A. 该正四面体的高为
B. 该正四面体的高为
C. 该正四面体两条高的夹角的余弦值为
D. 该正四面体两条高的夹角的余弦值为
【答案】AD
【解析】取中点，连接，过作垂直于交于点M，过作垂直于交于点N，如图所示，
由正四面体的结构特点可知，为正四面体的高，记，
因为在底面的射影为的重心，所以，
所以，故A正确，B错误；
因为，，
所以，
因为，
所以，
又因为的夹角为，且，
所以，
所以夹角的余弦值为，故C错误，D正确；
故选：AD.
10. 圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（ ）
A. 直线的方程为
B. 线段的中垂线方程为
C.
D. 点与点之间的距离的最大值为8
【答案】ABD
【解析】对于A，将两圆方程作差，可得，即直线的方程为，A正确.
对于B，圆，圆，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，，线段的中垂线经过和的圆心，故线段的中垂线方程为，故B正确.
对于C，圆的圆心到直线的距离为，故，C错误.
对于D，点与点之间的距离的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ）

A. 若，则
B. 存在点H，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点H，使得
【答案】ABC
【解析】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，

则，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四点共面，
若，则，解得，A正确；
对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，
过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，
则，，，，
故，，，，
易得是平面的一个法向量，若平面，
则，即，解得，符合题意，
所以存在点H，使得平面，B正确，
对于C：，
当时，取得最小值，最小值为，C正确.
对于D：若，则，
得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线与互相垂直，则________.
【答案】1
【解析】易知直线的斜率，则直线的斜率，解得.
13. 如图，在棱长为正方体中，是的中点，则_____.
【答案】6
【解析】棱长为的正方体中，
连接，则是边长为的等边三角形，
.
14. 已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则________.
【答案】6
【解析】设，由于，
而，则，
所以，
．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
解：（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
直线的方程为，、的中点为，
线段的中垂线方程为.
直线与直线的交点为，即圆的圆心为.
点与点的距离为，
即圆的半径为，所以圆的标准方程为.
（方法二）设圆的标准方程为，
则，，解得，
故圆的标准方程为.
（2）圆的圆心为，，直线的斜率为，
所以切线斜率为，所求切线方程为，
整理得.
16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.

（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
（1）证明：设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，则即
令，则.
.
因为，所以，
平面ACD1，所以平面.
（2）解：易知为平面的一个法向量，且.
.
易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
17. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为.
（1）求的方程.
（2）已知点在上，且位于第一象限，点，，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
解：（1）设Px1,y1，由过点作轴的垂线段，为垂足可得，
设线段的中点，
由中点坐标公式可得，，
又点在圆上，所以，即，
所以的方程为.
（2）是定值，
设，
则，
所以，
因为点在椭圆上，所以，即，
所以，
18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面.
（1）证明：.
（2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
（1）证明：取的中点，连接.
因为为等边三角形，所以.
因为为等腰直角三角形，且，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以.
（2）解：因为平面平面，平面平面平面，所以平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则.
设平面法向量为n=x,y,z，则即
令，则，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，当且仅当时，等号成立.
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19. 古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为.
（1）求的方程；
（2）若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标.
解：（1）设，根据，得，
即，所以的方程为.
（2）根据圆的对称性，不妨设.
设，则，
所以直线HE的方程为，直线HF的方程为.
设.
联立方程得，
所以，即，则，所以.
联立方程得，
所以，即，则，所以.
当时，，
所以直线MN的方程为，化简得，
所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点.
综上，直线MN过定点.