辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一下学期期初检测数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一下学期期初检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以．
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题“，”的否定是“，”.
故选：C．
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B.
4. 若函数是幂函数，且，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】设，由得，解得，所以，
所以．
故选：C.
5. 在如图所示的方格纸中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，根据平行四边形法则，可知，而.
故选：B．
6. 有一名同学参加投篮训练，一共进行了4组投篮，每组投篮10次，得到每组投篮的投中次数分别为5，6，8，9，则这些数据的75%分位数和方差分别为（ ）
A. 8.5和2.5B. 8和2.5C. 8.5和1.5D. 8和1.5
【答案】A
【解析】因为，所以这些数据的75%分位数为．
因为平均数为，所以方差为．
故选：A.
7. 在四边形中，已知，，则四边形一定是（ ）
A. 等腰梯形B. 正方形C. 矩形D. 菱形
【答案】D
【解析】因为，即，所以四边形是平行四边形．
因为，，所以是等边三角形，
则，所以四边形是菱形．
故选：D.
8. 已知正数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】A
【解析】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为8．
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 速度和力是矢量，物体的质量是标量
B. 若，，是的三个顶点，则
C. 零向量的相反向量是零向量
D. 若非零向量满足，，则
【答案】ACD
【解析】对于A，在物理中，速度和力是矢量，物体的质量是标量，A正确；
对于B，，是零向量，不是0，B错误；
对于C，零向量的相反向量是零向量，C正确；
对于D，对于非零向量，，表示与的方向相同或相反，
与的方向相同或相反，所以与的方向相同或相反，D正确．
故选：ACD.
10. 设函数，其中表示，，中数值大小排第二的数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的值域为
C. 的图象关于轴对称D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】在同一坐标系中作出函数，，的图象，
所以
对于A，，故A正确；
对于B，由图可知图象的最低点的纵坐标为4，所以的值域为，故B错误；
对于C，由的解析式可知：
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
即为偶函数，故C正确；
对于D，由图可知在上的解析式为，则在上单调递增，故D正确．
故选：ACD
11. 对于任意两个正数，，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，约定，，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）发现，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由约定知，所以．
当时，；
当时，；
当时，；
当或时，．综上，．
对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，因为，
故B正确；
对于C，如图，因为阴影部分的面积小于梯形的面积，
所以，故C正确．
对于D，取，，，故D错误．
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量满足，，则的最小值为__________，当且仅当与的方向__________时取得最小值．
【答案】6 相反
【解析】，当且仅当与的方向相反时等号成立，取得最小值．
13. 已知二次函数的两个零点为，则__________.
【答案】
【解析】因为二次函数的两个零点为，
所以，，解得，，
所以．
14. 已知向量，，，是非零向量，且，，则的面积为__________．
【答案】6
【解析】因为，，所以．由，，
得，解得，从而，，
故是直角三角形，为直角顶点，则该三角形的面积为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）求的值；
（2）已知正数，满足，证明：．
解：（1）
．
（2）证明：因为，所以，
所以．
因为，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当，时，等号成立．
16. 已知关于的方程有两个不同的实数根，集合，．
（1）是否存在实数，使得“”是“”的充要条件?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
解：（1）假设存在实数，使得“”是“”的充要条件，
因为“”是“”的充要条件，所以，
所以是的两个实数根，
所以，，
所以．
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
又因为二次函数图象对称轴方程为，
所以
解得，即的取值范围为．
17. 为了加强对学生动手操作能力的培养，将素质教育落到实处，某校开展了剪纸、刺绣、草艺、泥塑民间工艺活动，学校要求每名学生至少参加其中一项活动．为了解上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，得到如下数据：
以频率作为概率．
（1）从样本中随机选取了1名学生，估计这名学生参加了剪纸活动的概率；
（2）从高一、高二、高三学生样本中各随机选取了1名学生，估计这3名学生中恰有2人参加了剪纸活动的概率；
（3）为了进一步了解不同年级学生对以上各项工艺活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三学生样本中各随机选取了1名学生进行调查，设这3名学生均参加了第项工艺活动的概率为，求的最大值．
解：（1）样本中学生共有300人，
参加了剪纸活动的学生人数为，
所以这名学生参加了剪纸活动的概率为．
（2）从高一、高二、高三学生样本中各随机选取了1名学生，
估计这3名学生中恰有2人参加了剪纸活动的概率为：
．
（3）由题意可知，，
，
，
，
故最大，且为0.12．
18. 已知且，函数的图象恒过点．
（1）若，求的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）设函数，若关于方程恰有唯一解，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数的图象恒过点，
所以，即，解得，
所以，即．
由，解得．
（2）为奇函数，理由如下：
由（1）知，
所以，
所以，
又的定义域为，关于原点对称，
所以是奇函数．
（3）由，得，
所以
由，得，解得．
由，整理得，
解得或．
因为关于的方程恰有唯一解，
所以或
解得或，即实数的取值范围为．
19. 已知函数（或）是定义在上的偶函数，）．
（1）求值，并判断函数在上的单调性（不要求证明）；
（2）设函数，，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数（且）是定义在上的偶函数，
所以是定义在上的奇函数，
可知当时，，即，解得，
可以验证是定义在上的奇函数，从而是定义在上的偶函数，所以符合条件．
，易知在上单调递增．
（2）由（1）知，
所以．
对任意，存在，使得成立，等价于．
令，则在上单调递增，
所以．
易知函数图象的对称轴为直线．
当时，，由，解得，
又，所以．
当时，，
由，解得，又，所以无解．
综上，实数的取值范围为．工艺活动编号
1
2
3
4
工艺活动名称
剪纸
刺绣
草艺
泥塑
高一学生参加活动人数
50
30
30
60
高二学生参加活动人数
40
25
80
50
高三学生参加活动人数
40
10
40
40