【数学】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试试卷（解析版）

这是一份【数学】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点关于轴的对称点为点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点关于轴的对称点为点，
所以点的坐标为，所以，
则．
故选：A.
2. 小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有（ ）
A. 5种B. 10种C. 20种D. 25种
【答案】B
【解析】根据题意可得小沉的选择种数为．
故选：B.
3. 已知双曲线的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于，故，故双曲线的焦点在轴上，
根据焦距为4，故,
故，解得，
则双曲线的渐近线方程为．
故选：C.
4. 已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为的展开式共有项，
所以，
二项式的展开式的通项公式为，，
所以展开式中含项为，
故这个展开式中含的项的系数为．
故选：C.
5. 将5名党员志愿者分到3个不同社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ）
A. 120B. 300C. 180D. 150
【答案】D
【解析】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2．
当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法．
所以不同的安排方法有种．
故选：D.
6. 已知，抛物线：的焦点为，为上一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的焦点的坐标为，又，，
所以，，
因为，
所以，
即，
又，所以，
解得，，
所以．
故选：C.
7. 已知直线与圆相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（ ）
A. 或B. 或7C. 或5D. 5或7
【答案】B
【解析】由题意得圆C：的圆心为，半径为3．，
根据题意可得四边形的面积为，则，
因为，
故的最小值为，
所以点到直线的距离为，解得或．
故选：B.
8. 已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. 14D. 16
【答案】B
【解析】由题设，易得点P在平面上，且，
则，得．
由直四棱柱的性质，得平面，平面，
所以，则．
因为，
所以的最小值为．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】令，得，故选项A正确；
令，得①，故选项B错误；
令，得②，
由①②得，故选项C正确；
令，得，
则，
得，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知在四棱台中，平面，底面为菱形，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 平面
C. 平面平面
D. 若向量与在向量上的投影向量分别为，，则
【答案】ACD
【解析】因平面，平面，所以平面平面，A正确．
若平面，平面，则，因为平面，平面，所以，所以平面，平面，则，显然不成立，B错误．
因为底面为为菱形，所以，因为平面，平面，所以，，所以平面，平面，所以平面平面，C正确，
因为平面，且，，C，四点共面，所以，D正确．
故选：ACD.
11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 曲线关于原点对称，且关于直线对称
B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2
C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为
D. 已知，直线与曲线交于两点，则为定值
【答案】ABD
【解析】根据曲线方程，若点在曲线上，易知点都满足曲线的方程，所以曲线关于原点对称，且关于直线对称，A正确；
令第一象限点在曲线上，则，
因为，则，解得，当且仅当时等号成立，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，B正确；
由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，
所以，令，
将代入，可得，
故，解得，即的最大值为6，C错误；
由题，知点关于原点对称，不妨设第一象限点，
则且，
则，
，
所以为定值，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线：与直线：平行，则直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】因为直线：与直线：平行，
又，所以，
解得，故直线的方程为，
所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，
则，
所以，
故直线的倾斜角为．
13. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______．
【答案】
【解析】直线与平面所成的角为，
则
，
当时，取得最大值，最大值为．
14. 由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有______个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意）
【答案】27
【解析】考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放入集合，，，（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中，
记为集合中元素的个数，则.
再考虑重复的序列，，，，任意多于2个集合的交集均为空集.
所以含有连续子序列ABA的序列有个．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆，直线．
（1）证明直线恒过定点，并求定点的坐标；
（2）当时，求直线被圆所截得的弦长．
解：（1）直线的方程可化为，
由得得，所以直线恒过定点．
（2）圆的标准方程为，
圆心，半径．
当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为.
16. 如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，.
（1）证明：；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：因为四边形为矩形，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
取，，则，
设平面的一个法向量为，则，即
取，，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17. 在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生.
解：（1）先排2名指导老师，有种站法，
再排2名女大学生，有种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法，
再排2名指导老师，有种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，
所以共有种不同的站法.
18. 已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（3）直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程.
解：（1）将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线的离心率.
（2）根据题意易得直线的斜率存在，设，
则，两式相减得，
整理得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3.
（3）由题意得双曲线的右焦点为.
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
根据对称性不妨设，则，，
所以直线的斜率存在，
则可设直线的方程为.
由，得，
，
所以，
因，
所以
，
解得，
所以直线的方程为，即或.
19. 若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程；
（3）若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围.
解：（1）根据题意可得，即.
因为四边形的面积为，所以.
由，解得或，
所以椭圆的标准方程为或.
（2）若椭圆的标准方程为，则，，
设椭圆的左顶点为，
则，，，不符合题意，舍去.
若椭圆的标准方程为，则，，
设，
则
，符合题意.
故椭圆的标准方程为.
（3）由(2)得椭圆的方程为.设，则.
若存在实数，使得，则，
得，
.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
则，故的取值范围为.